Num triângulo obtusângulo e isósceles, os ângulos da base medem 30^circ cada um. Determine a base do triângulo, sabendo que os lados congruentes medem 10 cm cada um.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles em que os dois lados conguruentes medem 10 cm e os ângulos da base medem 30^circ cada. Como é obtusângulo, o ângulo do vértice (oposto à base) é maior que 90^circ. Para encontrar a base vamos:
  1. Calcular o ângulo do vértice usando a soma dos ângulos internos.
  2. Aplicar a Lei dos Cossenos com os dois lados iguais e o ângulo do vértice.

Passo 2

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^circ. Se os dois ângulos da base são 30^circ cada, o ângulo do vértice gamma vale
gamma = 180^circ - 2cdot30^circ = 180^circ - 60^circ = 120^circ

Passo 3

Usamos a Lei dos Cossenos para calcular a base b, que é o lado oposto ao ângulo de 120^circ. Como os lados iguais têm comprimento 10 cm:
b^2 = 10^2 + 10^2 - 2cdot10cdot10cosl(120^circr)
Sabendo que cos(120^circ) = -tfrac12, temos
b^2 = 100 + 100 - 200cdotl(-tfrac12r) = 200 + 100 = 300,
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b = raiz300 = 10raiz3

Resposta

A base do triângulo mede 10raiz3 cm.

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