1.1.7 Os vértices A, B e C de um triângulo são dados pelos pontos (-1,0,2),(0,1,0) e (1,-1,0), respectivamente. Ache o ponto D, tal que a figura A B C D forme um paralelogramo plano.
Passo 1
O enunciado fornece os vértices do triângulo em \mathbb{R}^3:
A = (-1,0,2),\quad B = (0,1,0),\quad C = (1,-1,0)
e pede um ponto D de modo que ABCD seja um paralelogramo plano. Vamos usar a propriedade vetorial de que, num paralelogramo, lados opostos são iguais como vetores.
Passo 2
Se adotarmos a ordenação A\to B\to C\to D, então os lados opostos são BC e AD. Portanto, devemos ter
\overrightarrow{AD} \;=\;\overrightarrow{BC}\,.
Passo 3
Calculemos o vetor \overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{BC} \;=\; C - B \;=\; (1,-1,0) - (0,1,0) \;=\; (1,\,-2,\,0).
Passo 4
Da condição \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} segue
D \;=\; A + \overrightarrow{BC} \;=\; (-1,0,2) + (1,-2,0) \;=\; (0,\,-2,\,2).
Resposta
D = (0,-2,2).
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 1.1 - Ex. 1.1.7