Se
, mostre que:
Passo 1
O enunciado diz que, em algum domínio (por exemplo
ou
), vale a condição
e queremos provar que
Para isso vamos usar a definição de subtração como elemento complementar em relação à adição e as propriedades de associatividade e cancelamento.
Passo 2
Defina
Pela definição de subtração existe unicidade de
tal que
Passo 3
Como a adição é associativa (e comutativa), podemos reescrever
Isso mostra que
é o único elemento que, somado a
, dá
. Logo, pela definição de subtração,
Passo 4
Agora defina
Pela mesma definição de subtração temos
Mas já vimos que
. Portanto
Passo 5
Como a adição é cancelativa (ou pela unicidade do complemento), de
segue
Isso significa