Seja m o mínimo múltiplo comum de dois números naturais nāo nulos a e b. Prove que:

Passo 1

O enunciado diz que m=mmc(a,b) e pede para provar que
gcd!gl(ma,,mbgr)=1
O conteúdo aqui é a relação entre fatores primos, máximo múltiplo comum (mmc) e máximo divisor comum (mdc). Vamos usar fatoração em primos, lembrando que o expoente de cada primo em gcd é o mínimo dos expoentes e em mmc é o máximo.

Passo 2

Fatoremos a e b em primos. Para cada primo pi, escrevemos
a=prodipi^alphai, b=prodipi^betai,
onde alphai,betai>=0. Alguns desses expoentes podem ser zero, dependendo se o primo aparece ou não.

Passo 3

Pelo teorema da fatoração única, o mmc toma o maior expoente de cada primo. Assim
m=mmc(a,b) =prodipi^max(alphai,betai)
Dividindo, obtemos
ma =prodipi^max(alphai,betai)-alphai, mb =prodipi^max(alphai,betai)-betai

Passo 4

Agora usamos que, para duas potências de primos, o expoente na gcd é o mínimo dos expoentes. Logo
gcd!gl(ma,,mbgr) =prodi pi^minl(max(alphai,betai)-alphai,;max(alphai,betai)-betair)
Mas, caso alphai>=betai, temos max(alphai,betai)=alphai e
min(alphai-alphai,;alphai-betai) =min(0,alphai-betai)=0
Se betai>=alphai, análogo: min(betai-alphai,,betai-betai)=0. Em todo caso, cada expoente é zero.

Passo 5

Como todos os expoentes na fatoração de gcd(m/a,m/b) são zero, concluímos que
gcd!gl(ma,,mbgr) =prodipi^0 =1

Resposta

gcd!gl(ma,,mbgr)=1

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