Seja m o mínimo múltiplo comum de dois números naturais nāo nulos a e b. Prove que:
Passo 1
O enunciado diz que
e pede para provar que
O conteúdo aqui é a relação entre fatores primos, máximo múltiplo comum (mmc) e máximo divisor comum (mdc). Vamos usar fatoração em primos, lembrando que o expoente de cada primo em
é o mínimo dos expoentes e em
é o máximo.
Passo 2
Fatoremos
e
em primos. Para cada primo
, escrevemos
onde
. Alguns desses expoentes podem ser zero, dependendo se o primo aparece ou não.
Passo 3
Pelo teorema da fatoração única, o mmc toma o maior expoente de cada primo. Assim
Dividindo, obtemos
Passo 4
Agora usamos que, para duas potências de primos, o expoente na
é o mínimo dos expoentes. Logo
Mas, caso
, temos
e
Se
, análogo:
. Em todo caso, cada expoente é zero.
Passo 5
Como todos os expoentes na fatoração de
são zero, concluímos que