Se
I(x)= 0 & (x <= 0) 1 & (x>0)
se lfloor xnrfloor é uma sucessão de pontos distintos de (a, b) e se Sigma|cn| é convergente, prove que a série
f(x)=sumn=1^infty cn I(x-xn) (a <= x <= b)
converge uniformemente, que f é contínua em todo x neq xn e que f é de variação limitada.

Passo 1

O enunciado define a função degrau
I(x)= 0,& x<=0, 1,& x>0,
e uma série de funções em [a,b]:
f(x)=sumn=1^inftycn,I(x-xn),
onde os xn são pontos distintos em (a,b) e sum|cn| converge.
Conteúdos envolvidos: teste de Weierstrass (convergência uniforme), continuidade uniforme e variação de funções em saltos.

Passo 2

Para a convergência uniforme aplicamos o Critério de Weierstrass. Note que, para todo xin[a,b],
l|cn,I(x-xn)r|<=|cn|cdot1=|cn|
Como sumn=1^infty|cn| converge, existe N tal que, para m>n>= N,
sumk=n+1^m|ck|<varepsilon
Logo, para todo x,
l|sumk=n+1^mck,I(x-xk)r| <=sumk=n+1^m|ck|<varepsilon,
o que prova a convergência uniforme de f(x) em [a,b].

Passo 3

Fixe um ponto x0neq xn para todo n. Como a série converge uniformemente, dado varepsilon>0 podemos escolher N tal que o “resto”
sumk=N+1^inftyck,I(x-xk) tenha módulo menor que varepsilon/2 em todo [a,b].
O somatório parcial
sumk=1^Nck,I(x-xk) é uma combinação finita de funções degrau, e em torno de x0 nenhuma delas apresenta salto (pois x0neq xk). Logo esse parcial é contínuo em x0, e portanto f, soma do parcial contínuo mais um resto uniformemente pequeno, também é contínua em x0.

Passo 4

Cada salto de f ocorre apenas em x=xn, e ali o valor de f sofre uma descontinuidade de tamanho |cn|. Entre os saltos f é constante. Portanto a variação total de f em [a,b] é exatamente
sumn=1^infty|cn|;<;infty
Isso mostra que f é de variação limitada.

Resposta

A série converge uniformemente em [a,b]; f é contínua em todo xneq xn; e f tem variação total sumn=1^infty|cn|, finita.

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