Seja
fn(x)= 0 & (x<1n+1), sen^2 pix & (1n+1 <= x <= 1n), 0 & (1n<x)
Mostre que fn converge para uma função contínua, mas que a convergência não é uniforme. Considere a série sum fn para mostrar que convergência uniforme não é consequência de convergência absoluta, mesmo que esta se verifique para todo x.

Passo 1

O enunciado define a sequência de funções
fn(x)= 0, & x<1n+1, sin^2!l(pixr), & 1n+1<= x<=1n, 0, & x>1n,
e pede para mostrar que fn converge pontualmente para uma função contínua (que será f(x)=0), mas que a convergência não é uniforme. Em seguida, devemos usar a série sum fn(x) para ilustrar que convergência absoluta ponto a ponto não garante convergência uniforme.

Passo 2

Para cada x>0 fixo, existe N tal que, para todo n>= N,
1n+1<xLongrightarrow x>1n
ou
x<1n+1
Em qualquer caso, x está fora do intervalo l[tfrac1n+1,tfrac1nr], logo fn(x)=0. Isso mostra que
limntoinftyfn(x)=0
para todo x>0. Definimos então
f(x)=0,
que é contínua em (0,infty).

Passo 3

Para verificar que a convergência não é uniforme, basta calcular
supx>0l|fn(x)-0r| =supxin[tfrac1n+1,tfrac1n]sin^2!l(tfracpixr)
Como sin^2t atinge o valor 1, escolhemos
xn=22n+1,
que satisfaz
1n+1<= 22n+1<=1n
Para esse xn vale
sin^2!l(pixnr) =sin^2!l(tfracpi(2n+1)2r) =1,
logo
supx>0|fn(x)|=1para todo n
Como essa supremum não tende a 0, a convergência não é uniforme.

Passo 4

Agora consideremos a série
sumn=1^inftyfn(x)
Os intervalos de suporte de fn são disjuntos, então para cada x existe no máximo um índice n tal que fn(x)neq0. Daí
sumn=1^inftyfn(x) =sin^2!l(pixr),
que é bem definida e finita para todo x>0. Logo a série converge absolutamente ponto a ponto.

Passo 5

Observamos que cada soma parcial
sN(x)=sumn=1^Nfn(x)
é contínua (é nula fora de um conjunto finito de intervalos e igual a sin^2(pi/x) em cada um). O limite pontual é
s(x)=sin^2!l(pixr),
que não é contínua em pontos como x=1/k. Como limite de funções contínuas não pode ser descontínuo sob convergência uniforme, concluímos que a série sum fn não converge uniformemente, embora converja absolutamente para cada x.

Resposta

A sequência fn converge pontualmente para f(x)=0, que é contínua, mas não converge uniformemente pois supx|fn(x)|=1notto0. A série sum fn(x) converge absolutamente para cada x (pois só um termo é não nulo), mas não uniformemente, pois seu limite é sin^2(pi/x), que é descontínua.

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