Para
real, seja
Mostre que
converge uniformemente para uma’função
e que a equação
6 verdadeira se
, porém 6 falsa se
.
Passo 1
O enunciado define, para cada
e
,
e pede para mostrar que
converge uniformemente a uma função
, e verificar se
é válido para
mas falha em
. O conteúdo envolve limites de funções, convergência uniforme e a troca de limite com derivada.
Passo 2
Primeiro achamos o limite pontual
Para
temos
sempre, logo
. Para
, o termo
e
Portanto
Passo 3
Agora mostramos convergência uniforme de
a
. Basta estimar
Para maximizar
phi(x)=|x|/(1+n,x^2) , basta ver em
x>=0 e derivar
que se anula em
x=1/raizn . O valor máximo é
Logo
o que prova a convergência uniforme.
Passo 4
Calculamos
fn'(x) por regra do quociente:
Passo 5
Analisamos
Se
xneq0 , para grandes
n o numerador é
-n,x^2+O(1) e o denominador é
(n,x^2)^2+O(n,x^2) , portanto
Como
f(x)equiv0 tem
f'(x)=0 , obtemos para
xneq0
logo a troca de limite e derivada funciona.
Passo 6
Em
x=0 temos diretamente
portanto
mas
f'(0)=0 (pois
fequiv0 ). Daí a igualdade
falha em
x=0 .
Resposta
A sequência
fn converge uniformemente para
f(x)equiv0 . A igualdade
é verdadeira para todo
xneq0 e falsa em
x=0 .