Para n=1,2,3, ldots, x real, seja
fn(x)=x1+n x^2
Mostre que fn converge uniformemente para uma’função f e que a equação
f^prime(x)=lim n infty fn^prime(x)
6 verdadeira se x neq 0, porém 6 falsa se x=0.

Passo 1

O enunciado define, para cada n=1,2,3,dots e xinR,
fn(x)=x1+n,x^2,
e pede para mostrar que fn converge uniformemente a uma função f, e verificar se
f'(x)=limntoinftyfn'(x)
é válido para xneq0 mas falha em x=0. O conteúdo envolve limites de funções, convergência uniforme e a troca de limite com derivada.

Passo 2

Primeiro achamos o limite pontual
f(x)=limntoinftyfn(x)
Para x=0 temos fn(0)=0 sempre, logo f(0)=0. Para xneq0, o termo n,x^2toinfty e
fn(x)=x1+n,x^2to0
Portanto
f(x)equiv0em todo R

Passo 3

Agora mostramos convergência uniforme de fn a f. Basta estimar
supxinRl|fn(x)-0r|=supxinR|x|1+n,x^2
Para maximizar phi(x)=|x|/(1+n,x^2), basta ver em x>=0 e derivar
phi'(x)=1+n,x^2-2n,x^2(1+n,x^2)^2 =1-n,x^2(1+n,x^2)^2,
que se anula em x=1/raizn. O valor máximo é
phil(1/raiznr) =1/raizn1+n,(1/n) =12raizn
Logo
supxinR|fn(x)-f(x)|=12raiznto0,
o que prova a convergência uniforme.

Passo 4

Calculamos fn'(x) por regra do quociente:
fn'(x) =(1+n,x^2)cdot1 - xcdot(2n,x)(1+n,x^2)^2 =1 - n,x^2(1+n,x^2)^2

Passo 5

Analisamos
limntoinftyfn'(x) =limntoinfty1 - n,x^2(1+n,x^2)^2
Se xneq0, para grandes n o numerador é -n,x^2+O(1) e o denominador é (n,x^2)^2+O(n,x^2), portanto
limntoinftyfn'(x)=0
Como f(x)equiv0 tem f'(x)=0, obtemos para xneq0
f'(x)=0=limntoinftyfn'(x),
logo a troca de limite e derivada funciona.

Passo 6

Em x=0 temos diretamente
fn'(0)=1 - ncdot0^2(1+ncdot0^2)^2=1,
portanto
limntoinftyfn'(0)=1,
mas f'(0)=0 (pois fequiv0). Daí a igualdade
f'(0)=limntoinftyfn'(0)
falha em x=0.

Resposta

A sequência fn converge uniformemente para f(x)equiv0. A igualdade
f'(x)=limntoinftyfn'(x)
é verdadeira para todo xneq0 e falsa em x=0.

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