8.1.9 Localize os pólos de Gamma(z). Mostre que são pólos simples e determine os resíduos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os polos da função Gamma, mostrar que cada polo é simples e calcular o resíduo em cada um. O conteúdo necessário envolve a extensão analítica da função Gamma, em particular a relação de recorrência
Gamma(z+1)=z,Gamma(z)
e o fato de Gamma ser meromorfa no plano complexo.

Passo 2

Usamos a relação de recorrência para estender Gamma(z) além da definição por integral. Partindo de Gamma(1)=1 e aplicando
Gamma(z)=Gamma(z+1)z,
vemos que sempre que z for um número inteiro não positivo, o denominador Zera, forçando singularidade.

Passo 3

Como a única fonte de singularidade na fórmula
Gamma(z)=Gamma(z+1)z
é o fator 1/z, a cada aplicação sucessiva para valores negativos inteiros surgem polos em
z=0,,-1,,-2,dots
Logo, os polos de Gamma(z) são exatamente em z=-nmid ninN0.

Passo 4

Para verificar que cada polo é simples, observe que em torno de z=-n podemos escrever
Gamma(z) =Gamma(z+n+1)z(z+1)cdots(z+n) =Gamma(1+varepsilon)(z+n),l[-n(z+n-1)cdots(-1)r]onde z=-n+varepsilon
Apenas o fator (z+n) no denominador se anula em varepsilonto0, indicando um polo de ordem 1 (simples).

Passo 5

O resíduo num polo simples z=-n é
Res(Gamma,z=-n) =limzto -n(z+n),Gamma(z) =limvarepsilonto0Gamma(1+varepsilon)(-n)(-n+1)cdots(-1)
Como Gamma(1+varepsilon)toGamma(1)=1 e
(-n)(-n+1)cdots(-1)=(-1)^n,n!,
segue
Res(Gamma,z=-n) =1(-1)^n,n! =(-1)^nn!,

Resposta

Os polos de Gamma(z) são z=-n para n=0,1,2,dots; cada polo é simples, e
Res(Gamma,z=-n)=(-1)^nn!,

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