8.1.9 Localize os pólos de \Gamma(z). Mostre que são pólos simples e determine os resíduos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os polos da função Gamma, mostrar que cada polo é simples e calcular o resíduo em cada um. O conteúdo necessário envolve a extensão analítica da função Gamma, em particular a relação de recorrência
\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)
e o fato de \Gamma ser meromorfa no plano complexo.

Passo 2

Usamos a relação de recorrência para estender \Gamma(z) além da definição por integral. Partindo de \Gamma(1)=1 e aplicando
\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+1)}{z},
vemos que sempre que z for um número inteiro não positivo, o denominador Zera, forçando singularidade.

Passo 3

Como a única fonte de singularidade na fórmula
\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+1)}{z}
é o fator 1/z, a cada aplicação sucessiva para valores negativos inteiros surgem polos em
z=0,\,-1,\,-2,\dots
Logo, os polos de \Gamma(z) são exatamente em \{z=-n\mid n\in\mathbb{N}_0\}.

Passo 4

Para verificar que cada polo é simples, observe que em torno de z=-n podemos escrever
\Gamma(z) =\frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots(z+n)} =\frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{(z+n)\,\bigl[-n(z+n-1)\cdots(-1)\bigr]}\quad\text{onde }z=-n+\varepsilon.
Apenas o fator (z+n) no denominador se anula em \varepsilon\to0, indicando um polo de ordem 1 (simples).

Passo 5

O resíduo num polo simples z=-n é
\operatorname{Res}(\Gamma,z=-n) =\lim_{z\to -n}(z+n)\,\Gamma(z) =\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{(-n)(-n+1)\cdots(-1)}.
Como \Gamma(1+\varepsilon)\to\Gamma(1)=1 e
(-n)(-n+1)\cdots(-1)=(-1)^{n}\,n!,
segue
\operatorname{Res}(\Gamma,z=-n) =\frac{1}{(-1)^{n}\,n!} =\frac{(-1)^{n}}{n!}\,.

Resposta

Os polos de \Gamma(z) são z=-n para n=0,1,2,\dots; cada polo é simples, e
\operatorname{Res}(\Gamma,z=-n)=\frac{(-1)^{n}}{n!}\,.

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