8.1.9 Localize os pólos de
. Mostre que são pólos simples e determine os resíduos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os polos da função Gamma, mostrar que cada polo é simples e calcular o resíduo em cada um. O conteúdo necessário envolve a extensão analítica da função Gamma, em particular a relação de recorrência
e o fato de
ser meromorfa no plano complexo.
Passo 2
Usamos a relação de recorrência para estender
além da definição por integral. Partindo de
e aplicando
vemos que sempre que
for um número inteiro não positivo, o denominador Zera, forçando singularidade.
Passo 3
Como a única fonte de singularidade na fórmula
é o fator
, a cada aplicação sucessiva para valores negativos inteiros surgem polos em
Logo, os polos de
são exatamente em
.
Passo 4
Para verificar que cada polo é simples, observe que em torno de
podemos escrever
Apenas o fator
no denominador se anula em
, indicando um polo de ordem 1 (simples).
Passo 5
O resíduo num polo simples
é
Como
e
segue
Resposta
Os polos de
são
para
; cada polo é simples, e