8.1.18 Por uma das definições da função fatorial ou função gama, mostre que
|(i x)!|^{2}=\frac{\pi x}{\operatorname{senh} \pi x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar
\bigl|(i x)!\bigr|^{2} = \frac{\pi x}{\senh(\pi x)}
Lembrando que estendemos o fatorial pelo Gamma, ou seja
(i x)! = \Gamma(i x + 1).
Vamos usar duas propriedades clássicas de \Gamma: a fórmula de reflexão
\Gamma(z)\,\Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}
e a relação funcional
\Gamma(w+1)=w\,\Gamma(w).

Passo 2

Na fórmula de reflexão tomamos z = i x. Assim
\Gamma(i x)\,\Gamma(1 - i x) = \frac{\pi}{\sin(\pi\,i x)}.

Passo 3

Calculamos \sin(\pi\,i x). Sabemos que
\sin(i\,a)=i\,\senh(a),
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\sin(\pi\,i x) = i\,\senh(\pi x).
Substituindo em cima:
\Gamma(i x)\,\Gamma(1 - i x) = \frac{\pi}{\,i\,\senh(\pi x)\,}.

Passo 4

Usamos agora a relação funcional com w=-i x:
\Gamma(1 - i x) = -\,i x\;\Gamma(-i x).
Então
\Gamma(i x)\,\bigl(-\,i x\,\Gamma(-i x)\bigr) = \frac{\pi}{\,i\,\senh(\pi x)\,} \;\Longrightarrow\; \Gamma(i x)\,\Gamma(-i x) = \frac{\pi}{x\,\senh(\pi x)}.

Passo 5

Como x é real vale \Gamma(-i x)=\overline{\Gamma(i x)}, então
\Gamma(i x)\,\Gamma(-i x) = \bigl|\Gamma(i x)\bigr|^2 = \frac{\pi}{x\,\senh(\pi x)}.

Passo 6

Finalmente usamos a recorrência para passar de \Gamma(i x) a \Gamma(i x+1):
\Gamma(i x+1) = i x\,\Gamma(i x).
Tomando módulo ao quadrado,
\bigl|\Gamma(i x+1)\bigr|^2 = |i x|^2\;\bigl|\Gamma(i x)\bigr|^2 = x^2\;\frac{\pi}{x\,\senh(\pi x)} = \frac{\pi\,x}{\senh(\pi x)}.

Resposta

\bigl|(i x)!\bigr|^{2} = \frac{\pi\,x}{\senh(\pi x)}.

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