8.1.18 Por uma das definições da função fatorial ou função gama, mostre que
|(i x)!|^2=pi xsenh pi x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar
Lembrando que estendemos o fatorial pelo Gamma, ou seja
l|(i x)!r|^2 = pi xsenh(pi x)
Vamos usar duas propriedades clássicas de (i x)! = Gamma(i x + 1) : a fórmula de reflexão
Gamma(z),Gamma(1 - z) = pisin(pi z)
e a relação funcional
Gamma(w+1)=w,Gamma(w)

Passo 2

Na fórmula de reflexão tomamos Gamma(i x),Gamma(1 - i x) = pisin(pi,i x) . Assim

Passo 3

Calculamos sin(i,a)=i,senh(a), . Sabemos que
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Substituindo em cima:

Passo 4

Usamos agora a relação funcional com Gamma(1 - i x) = -,i x;Gamma(-i x) :
Gamma(i x),l(-,i x,Gamma(-i x)r) = pi,i,senh(pi x), ;Longrightarrow; Gamma(i x),Gamma(-i x) = pix,senh(pi x)
Então

Passo 5

Como Gamma(i x),Gamma(-i x) = l|Gamma(i x)r|^2 = pix,senh(pi x) é real vale , então

Passo 6

Finalmente usamos a recorrência para passar de Gamma(i x+1) = i x,Gamma(i x) a l|Gamma(i x+1)r|^2 = |i x|^2;l|Gamma(i x)r|^2 = x^2;pix,senh(pi x) = pi,xsenh(pi x) :
Tomando módulo ao quadrado,

Resposta

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