8.1.18 Por uma das definições da função fatorial ou função gama, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar
Lembrando que estendemos o fatorial pelo Gamma, ou seja
Vamos usar duas propriedades clássicas de
: a fórmula de reflexão
e a relação funcional
Passo 2
Na fórmula de reflexão tomamos
. Assim
Passo 3
Calculamos
. Sabemos que
logo
Substituindo em cima:
Passo 4
Usamos agora a relação funcional com
:
Então
Passo 5
Como
é real vale
, então
Passo 6
Finalmente usamos a recorrência para passar de
Gamma(i x+1) = i x,Gamma(i x) a
l|Gamma(i x+1)r|^2 = |i x|^2;l|Gamma(i x)r|^2 = x^2;pix,senh(pi x) = pi,xsenh(pi x) :
Tomando módulo ao quadrado,