8.1.14 Expresse o coeficiente do enésimo termo da expansão de (1+x)^1 / 2
(a) em termos dos fatoriais de inteiros,
(b) em termos das funções de fatorial duplo (!!)
Resposta: an=(-1)^n+1 (2 n-3) !2^2 n-2 n !(n-2) !=(-1)^n+1 (2 n-3) ! !(2 n) ! !, n=2,3, ldots

Passo 1

Queremos achar o coeficiente an da série de Taylor
(1+x)^1/2 = sumn=0^infty an,x^n
O conteúdo usado aqui é o teorema do binômio de Newton para expoente real, que nos dá uma fórmula geral para an.

Passo 2

O teorema do binômio generalizado diz que, para qualquer alphainR,
(1+x)^alpha = sumn=0^inftybinomalphan,x^n,
onde
binomalphan = alpha(alpha-1)(alpha-2)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 3

Aqui tomamos alpha=tfrac12. Logo
an = binomtfrac12n = tfrac12l(tfrac12-1r)l(tfrac12-2r)cdotsl(tfrac12-(n-1)r)n!

Passo 4

Vamos simplificar o produto do numerador. Note que
prodk=0^n-1l(tfrac12 - kr) = prodk=0^n-1(1-2k)2^n = (-1)^,n-1,(2n-3)!!2^n,
pois prodk=0^n-1(1-2k)=1cdot(-1)cdot(-3)cdotsl(-(2n-3)r)=(-1)^n-1(2n-3)!!.
Substituindo em an e usando que (-1)^n-1=(-1)^n+1, obtemos
an = (-1)^n+1,(2n-3)!!2^n,n! = (-1)^n+1,(2n-3)!2^2n-2,n!,(n-2)!
A última igualdade vem de
(2n-3)!! = (2n-3)!2^,n-2,(n-2)!

Passo 5

Para reescrever em função de fatoriais duplos, lembramos que
(2n)!! = 2cdot4cdots(2n) = 2^n,n! e (2n-3)!! = 1cdot3cdots(2n-3)
Logo a forma em duplo fatorial é
an = (-1)^n+1,(2n-3)!!(2n)!!

Resposta

an = (-1)^n+1,(2n-3)!2^2n-2,n!,(n-2)! = (-1)^n+1,(2n-3)!!(2n)!!, n=2,3,ldots

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