8.1.14 Expresse o coeficiente do enésimo termo da expansão de (1+x)^{1 / 2}
(a) em termos dos fatoriais de inteiros,
(b) em termos das funções de fatorial duplo (!!)
\text { Resposta: } a_{n}=(-1)^{n+1} \frac{(2 n-3) !}{2^{2 n-2} n !(n-2) !}=(-1)^{n+1} \frac{(2 n-3) ! !}{(2 n) ! !}, \quad n=2,3, \ldots

Passo 1

Queremos achar o coeficiente a_n da série de Taylor
(1+x)^{1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^n.
O conteúdo usado aqui é o teorema do binômio de Newton para expoente real, que nos dá uma fórmula geral para a_n.

Passo 2

O teorema do binômio generalizado diz que, para qualquer \alpha\in\mathbb{R},
(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}\,x^n,
onde
\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.

Passo 3

Aqui tomamos \alpha=\tfrac12. Logo
a_n = \binom{\tfrac12}{n} = \frac{\tfrac12\bigl(\tfrac12-1\bigr)\bigl(\tfrac12-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12-(n-1)\bigr)}{n!}.

Passo 4

Vamos simplificar o produto do numerador. Note que
\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(\tfrac12 - k\Bigr) = \frac{\prod_{k=0}^{n-1}(1-2k)}{2^n} = \frac{(-1)^{\,n-1}\,(2n-3)!!}{2^n},
pois \prod_{k=0}^{n-1}(1-2k)=1\cdot(-1)\cdot(-3)\cdots\bigl(-(2n-3)\bigr)=(-1)^{n-1}(2n-3)!!.
Substituindo em a_n e usando que (-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}, obtemos
a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{(2n-3)!!}{2^n\,n!} = (-1)^{n+1}\,\frac{(2n-3)!}{2^{2n-2}\,n!\,(n-2)!}.
A última igualdade vem de
(2n-3)!! = \frac{(2n-3)!}{2^{\,n-2}\,(n-2)!}.

Passo 5

Para reescrever em função de fatoriais duplos, lembramos que
(2n)!! = 2\cdot4\cdots(2n) = 2^n\,n! \quad\text{e}\quad (2n-3)!! = 1\cdot3\cdots(2n-3).
Logo a forma em duplo fatorial é
a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}.

Resposta

a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{(2n-3)!}{2^{2n-2}\,n!\,(n-2)!} = (-1)^{n+1}\,\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}, \quad n=2,3,\ldots

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