8.1.14 Expresse o coeficiente do enésimo termo da expansão de
(a) em termos dos fatoriais de inteiros,
(b) em termos das funções de fatorial duplo (!!)
(a) em termos dos fatoriais de inteiros,
(b) em termos das funções de fatorial duplo (!!)
Passo 1
Queremos achar o coeficiente
da série de Taylor
O conteúdo usado aqui é o teorema do binômio de Newton para expoente real, que nos dá uma fórmula geral para
.
Passo 2
O teorema do binômio generalizado diz que, para qualquer
,
onde
Passo 3
Aqui tomamos
. Logo
Passo 4
Vamos simplificar o produto do numerador. Note que
pois
.
Substituindo em e usando que
, obtemos
Substituindo em
A última igualdade vem de
Passo 5
Para reescrever em função de fatoriais duplos, lembramos que
Logo a forma em duplo fatorial é