8.1.13 Para s inteiro não-negativo, mostre que
(-2 s-1)!!=\frac{(-1)^{s}}{(2 s-1)!!}=\frac{(-1)^{s} 2^{s} s !}{(2 s) !}

Passo 1

O enunciado pede para provar, para inteiro não-negativo s, que
(-2s-1)!! \;=\;\frac{(-1)^{s}}{(2s-1)!!}\;=\;\frac{(-1)^{s}\,2^{s}\,s!}{(2s)!}.
Aqui vamos usar a extensão analítica da definição de fatorial duplo em termos da função Gama e depois aplicar a identidade de meio-inteiros para \Gamma.

Passo 2

Recordamos a extensão da fatorial duplo para z\in\mathbb{C}\setminus\{\dots,-3,-1\}:
z!! \;=\;\frac{2^{\tfrac{z+1}{2}}}{\sqrt{\pi}}\;\Gamma\!\Bigl(\tfrac{z}{2}+1\Bigr).

Passo 3

Façamos z=-2s-1. Então
(-2s-1)!! =\frac{2^{\tfrac{-2s-1+1}{2}}}{\sqrt{\pi}}\;\Gamma\!\Bigl(\tfrac{-2s-1}{2}+1\Bigr) =\frac{2^{-s}}{\sqrt{\pi}}\;\Gamma\!\bigl(\tfrac12 - s\bigr).

Passo 4

Usamos a identidade para argumentos meio-inteiros negativos:
\Gamma\!\bigl(\tfrac12 - s\bigr) =\frac{(-4)^{s}\,s!\,\sqrt{\pi}}{(2s)!}.
Substituindo em (-2s-1)!! vem
(-2s-1)!! =\frac{2^{-s}}{\sqrt{\pi}}\;\frac{(-4)^{s}\,s!\,\sqrt{\pi}}{(2s)!} =\frac{(-4)^{s}\,2^{-s}\,s!}{(2s)!} =\frac{(-1)^{s}\,2^{2s-s}\,s!}{(2s)!} =\frac{(-1)^{s}\,2^{s}\,s!}{(2s)!}.

Passo 5

Finalmente, lembrando que
(2s-1)!!=\frac{(2s)!}{2^{s}\,s!},
vemos imediatamente que
\frac{(-1)^{s}\,2^{s}\,s!}{(2s)!} =\frac{(-1)^{s}}{(2s-1)!!}.

Resposta

(-2s-1)!! \;=\;\frac{(-1)^{s}}{(2s-1)!!}\;=\;\frac{(-1)^{s}\,2^{s}\,s!}{(2s)!}.

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