8.1.13 Para s inteiro não-negativo, mostre que
(-2 s-1)!!=(-1)^s(2 s-1)!!=(-1)^s 2^s s !(2 s) !

Passo 1

O enunciado pede para provar, para inteiro não-negativo s, que
(-2s-1)!! ;=;(-1)^s(2s-1)!!;=;(-1)^s,2^s,s!(2s)!
Aqui vamos usar a extensão analítica da definição de fatorial duplo em termos da função Gama e depois aplicar a identidade de meio-inteiros para Gamma.

Passo 2

Recordamos a extensão da fatorial duplo para zinCsetminusdots,-3,-1:
z!! ;=;2^tfracz+12raizpi;Gamma!l(tfracz2+1r)

Passo 3

Façamos z=-2s-1. Então
(-2s-1)!! =2^tfrac-2s-1+12raizpi;Gamma!l(tfrac-2s-12+1r) =2^-sraizpi;Gamma!l(tfrac12 - sr)

Passo 4

Usamos a identidade para argumentos meio-inteiros negativos:
Gamma!l(tfrac12 - sr) =(-4)^s,s!,raizpi(2s)!
Substituindo em (-2s-1)!! vem
(-2s-1)!! =2^-sraizpi;(-4)^s,s!,raizpi(2s)! =(-4)^s,2^-s,s!(2s)! =(-1)^s,2^2s-s,s!(2s)! =(-1)^s,2^s,s!(2s)!

Passo 5

Finalmente, lembrando que
(2s-1)!!=(2s)!2^s,s!,
vemos imediatamente que
(-1)^s,2^s,s!(2s)! =(-1)^s(2s-1)!!

Resposta

(-2s-1)!! ;=;(-1)^s(2s-1)!!;=;(-1)^s,2^s,s!(2s)!

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