LUCRO DURANTE A VIDA ÚTIL DE UMA MÁQUINA Responda às perguntas do Problema 20 para uma máquina que gere receita à taxa de R^{\prime}(t)=7.250-18 t^{2} reais por ano e para a qual os custos de operação e manutenção se acumulem à taxa de C^{\prime}(t)=3.620+12 t^{2} reais por ano.

Passo 1

O enunciado dá as taxas de receita e de custo de uma máquina em função do tempo t (anos):
\;R'(t)=7\,250-18\,t^{2} e \;C'(t)=3\,620+12\,t^{2}.
O objetivo é responder, conforme o Problema 20, qual é
– o lucro líquido acumulado até t anos,
– a taxa de lucro marginal,
– o momento ótimo para substituir a máquina (quando a taxa marginal se anula),
– e o valor máximo desse lucro.

Passo 2

Para obter o lucro líquido acumulado até t anos, definimos
P(t)=\int_{0}^{t}\bigl[R'(u)-C'(u)\bigr]\,du.
Primeiro calculamos o integrando:
R'(u)-C'(u)=(7\,250-18\,u^{2})-(3\,620+12\,u^{2}) =3\,630-30\,u^{2}.
Logo
P(t)=\int_{0}^{t}\bigl(3\,630-30\,u^{2}\bigr)du =3\,630t-10\,t^{3}.

Passo 3

A taxa de lucro marginal é a derivada de P(t):
P'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3\,630t-10\,t^{3}\bigr) =3\,630-30\,t^{2}.

Passo 4

Para maximizar o lucro acumulado, igualamos P'(t)=0:
3\,630-30\,t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=121 \quad\Longrightarrow\quad t=11\\ (\text{anos}, descarta-se }t<0).
Verificamos que P''(t)=-60t<0 para t>0, confirmando máximo em t=11.

Passo 5

O lucro máximo é
P(11)=3\,630\cdot11-10\cdot11^{3} =39\,930-13\,310=26\,620\\ (\text{reais}).

Resposta

(a) P(t)=3\,630\,t-10\,t^{3}.
(b) P'(t)=3\,630-30\,t^{2}.
(c) A substituição deve ocorrer em t=11 anos.
(d) O lucro líquido máximo é \,R\$26\,620.

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