O lucro de uma empresa (em reais) com a venda de x unidades de um certo produto é dado por L(x)=200 x-x^28. Sabendo que as vendas estão aumentando a uma taxa de 20 unidades por dia. Calcule a taxa de variação do lucro quando a empresa acabou de vender 200 unidades.

Passo 1

O enunciado dá o lucro em função das vendas x pela fórmula
L(x) = 200,x - x^28,
e informa que as vendas crescem a uma taxa dxdt=20 unidades por dia. Precisamos achar a taxa de variação do lucro dLdt no instante em que x=200. O conteúdo usado será derivação de função polinomial e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de L em relação a x:
dLdx = 200 - x4
Agora avaliamos em x=200:
dLdx|x=200 = 200 - 2004 = 200 - 50 = 150

Passo 3

Usando a regra da cadeia para taxas relacionadas:
dLdt = dLdx,dxdt
Substituindo dLdx|x=200=150 e dxdt=20, vem
dLdt = 150 times 20 = 3000

Resposta

A taxa de variação do lucro, quando x=200, é 3000 reais por dia.

Exercícios de Livros Relacionados