(Mackenzie-SP) Os pontos (x, y) do plano tais que x^2+y^2 <= 36, com x+y >= 6, definem uma região de área:
a) 6(pi-2)
b) 9-pi
c) 9(pi-2)
d) 6-pi
e) 18(pi-2)

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do disco de raio 6 definido por
x^2+y^2<= 36
que ainda satisfaz
x+y>= 6
O conteúdo necessário é calcular a área de um segmento circular cortado pela reta x+y=6. Vamos usar uma rotação de eixos para simplificar a integração.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
u = x+yraiz2, v = x-yraiz2
Nesse sistema, a reta x+y=6 vira
u = 6raiz2,
e o círculo x^2+y^2<=36 vira
u^2+v^2<=36
Logo a região é
u0<= u<= 6, -raiz36-u^2<= v<= raiz36-u^2,
onde u0=6/raiz2.

Passo 3

A área A da região em coordenadas (u,v) é
A = integralu=u0^6!integralv=-raiz36-u^2^raiz36-u^2dv,du =2integralu0^6raiz36-u^2;du

Passo 4

Usamos a primitiva conhecida
integral raiza^2-u^2;du = u2raiza^2-u^2 + a^22arcsin!l(tfracuar)
Aqui a=6, então
integral raiz36-u^2;du = u2raiz36-u^2 +18arcsin!l(tfracu6r)

Passo 5

Avaliamo de u0=3raiz2 até 6:
Em u=6:
raiz36-6^2=0, arcsin(6/6)=tfracpi2 ;Longrightarrow; l[,cdotsr]6 =0 + 18cdottfracpi2 =9pi
Em u=3raiz2:
raiz36-(3raiz2)^2=raiz18=3raiz2, arcsinl(tfrac3raiz26r) =arcsinl(tfracraiz22r) =tfracpi4,
l[,cdotsr]3raiz2 =3raiz22,3raiz2 +18cdottfracpi4 =9 + tfrac18pi4 =9 + tfrac9pi2
Então
integralu0^6raiz36-u^2;du =9pi - l(9 + tfrac9pi2r) =tfrac9pi2-9,
e a área é
A = 2l(tfrac9pi2-9r) =9pi-18 =9(pi-2)

Resposta

9(pi-2) (alternativa c) )

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