(UF-MG) No plano cartesiano, o ponto A=(1,11) é vértice do quadrado A B C D, cuja diagonal BD está sobre a reta de equação y=12 x+3.
Considerando essas informações:
a) Determine as coordenadas do centro M do quadrado ABCD .
b) Determine as coordenadas do vértice C.
c) Determine as coordenadas dos vértices B e D.

Passo 1

O enunciado dá o vértice A=(1,11) de um quadrado ABCD e informa que a diagonal BD está sobre a reta
y = 12x + 3
Em quadrados, as diagonais se cortam no centro M e são perpendiculares. Vamos usar essas propriedades de geometria analítica para achar:
  1. O centro M (interseção das diagonais).
  2. O vértice oposto C (simétrico de A em relação a M).
  3. Os vértices B e D (sobre a reta da diagonal BD, equidistantes de M).

Passo 2

Como BD tem coeficiente angular mBD=tfrac12, a outra diagonal AC é perpendicular a ela, logo tem coeficiente angular
mAC = -,1mBD = -2
A reta que passa por A=(1,11) e tem esse coeficiente é
y - 11 = -2,(x - 1)

Passo 3

O centro
temos
e então
Logo (M=(4,5)].

Passo 4

No quadrado,
de onde
Logo (C=(7,-1)].

Passo 5

Para achar B e D usamos que eles estão em BD e são equidistantes de M, com distância igual a MA. Primeiro
MA = raiz(4-1)^2 + (5-11)^2 = raiz3^2 + (-6)^2 = raiz45 = 3raiz5
Um vetor diretor de BD é v = (2,1) (coeficiente tfrac12). O vetor unitário é
v| v| = (2,1)raiz5
Portanto, os deslocamentos de M até B e D são
pm MA;(2,1)raiz5 = pml(3raiz5r)(2,1)raiz5 = pm(6,3)
Assim
B = M + (6,3) = (4+6,,5+3) = (10,8),
D = M - (6,3) = (4-6,,5-3) = (-2,2)

Resposta

a) M = (4,5)
b) C = (7,-1)
c) B = (10,8) e D = (-2,2)

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