(UF-MS) Um paralelogramo é , nessa ordem, cujos vértices têm coordenadas não negativas, é tal que o ponto , e os segmentos e estão sob as retas e y - x, respectivamente. A partir dos dados fornecidos, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s):
(001)
(002)
(004)
(008) A equação da reta que contém o lado do paralelogramo é .
(016) O paralelogramo é um losango.
Passo 1
O enunciado trata de um paralelogramo com vértices em coordenadas não negativas, sabendo-se que
,
todo ponto do segmento satisfaz ,
todo ponto do segmento satisfaz .
Vamos aproveitar a relação vetorial do paralelogramo e as desigualdades para determinar , e , e depois verificar as afirmações.
Passo 2
Em qualquer paralelogramo vale
e também
A + C = B + D
Em coordenadas, se A=(a1,a2), B=(0,2), C=(c1,c2), D=(d1,d2), então
C = B + D - A Longrightarrow (c1,c2) = (0,2) + (d1,d2) - (a1,a2)
Passo 3
Testemos as opções sugeridas: A=(1,1), D=(4,4).
Verificações de “estar sob” as retas:
Para A=(1,1) vale 1<=1, logo está sob y=x.
Para D=(4,4) vale 4<=4 (sob y=x) e 4<=8-4=4 (sob y=8-x).
Então
C = B + D - A = (0,2)+(4,4)-(1,1) = (3,5)
E de fato (3,5) satisfaz 5<=8-3=5 e tem coordenadas não negativas.
Passo 4
Agora checamos cada afirmação:
A=(1,1): Verdadeiro.
C=(3,5): Verdadeiro.
D=(4,4): Verdadeiro.
A reta AB passa por (1,1) e (0,2), tem coeficiente angular 2-10-1=-1, logo é
y-2 = -1(x-0) Longrightarrow y = 2 - x,
verdadeiro.
016) Para ser losango todos os lados teriam de ter mesma medida, mas ,AB=raiz2 e BC=3raiz2, não são iguais, logo é falso.
Resposta
(001), (002), (004) e (008) são corretas.
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 60