(UF-MS) Um paralelogramo é A B C D, nessa ordem, cujos vértices têm coordenadas não negativas, é tal que o ponto B=(0,2), e os segmentos A D e C D estão sob as retas y=x e y =8 - x, respectivamente. A partir dos dados fornecidos, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s):
(001) A=(1,1)
(002) C=(3,5)
(004) D=(4,4)
(008) A equação da reta que contém o lado A B do paralelogramo é y=2-x.
(016) O paralelogramo é um losango.

Passo 1

O enunciado trata de um paralelogramo ABCD com vértices em coordenadas não negativas, sabendo-se que
  • B=(0,2),
  • todo ponto do segmento AD satisfaz y<= x,
  • todo ponto do segmento CD satisfaz y<= 8 - x.
    Vamos aproveitar a relação vetorial do paralelogramo e as desigualdades para determinar A, C e D, e depois verificar as afirmações.

Passo 2

Em qualquer paralelogramo vale
AB = DC Longrightarrow BC = AD
e também
A + C = B + D
Em coordenadas, se A=(a1,a2), B=(0,2), C=(c1,c2), D=(d1,d2), então
C = B + D - A Longrightarrow (c1,c2) = (0,2) + (d1,d2) - (a1,a2)

Passo 3

Testemos as opções sugeridas: A=(1,1), D=(4,4).
Verificações de “estar sob” as retas:
  • Para A=(1,1) vale 1<=1, logo está sob y=x.
  • Para D=(4,4) vale 4<=4 (sob y=x) e 4<=8-4=4 (sob y=8-x).
    Então
C = B + D - A = (0,2)+(4,4)-(1,1) = (3,5)
E de fato (3,5) satisfaz 5<=8-3=5 e tem coordenadas não negativas.

Passo 4

Agora checamos cada afirmação:
  1. A=(1,1): Verdadeiro.
  2. C=(3,5): Verdadeiro.
  3. D=(4,4): Verdadeiro.
  4. A reta AB passa por (1,1) e (0,2), tem coeficiente angular 2-10-1=-1, logo é
y-2 = -1(x-0) Longrightarrow y = 2 - x,
verdadeiro.
016) Para ser losango todos os lados teriam de ter mesma medida, mas
,AB=raiz2 e BC=3raiz2, não são iguais, logo é falso.

Resposta

(001), (002), (004) e (008) são corretas.

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