(Mackenzie-SP) Com relação à reta que passa pela origem e é tangente à curva (x-3)^2+(y-4)^2=25, considere as afirmações:
I. é paralela à reta 3 x-4 y=25.
II. é paralela à bissetriz dos quadrantes pares.
III. é perpendicular à reta 4 x-3 y=0.
Dessa forma,
a) somente I está correta.
b) somente II está correta.
d) somente I e III estão corretas.
e) I, II e III estão incorretas.

Passo 1

O enunciado dá um círculo de equação (x-3)^2+(y-4)^2=25 e pede a reta que passa pela origem e é tangente a esse círculo. O conteúdo é geometria analítica de retas e círculos; vamos usar a condição de tangência via distância do centro até a reta.

Passo 2

Se a reta passa pela origem com coeficiente angular m, sua equação é y = m x, ou equivalentemente
m x - y = 0
A distância do centro (3,4) até essa reta deve ser igual ao raio 5. A fórmula da distância de (x0,y0) até Ax+By+C=0 é l|Ax0+By0+Cr|/raizA^2+B^2. Aqui A=m, B=-1, C=0.

Passo 3

Aplicando a distância, temos
l|mcdot 3 + (-1)cdot 4 + 0r|raizm^2+(-1)^2 =l|3m-4r|raizm^2+1 =5
Elevando ao quadrado:
(3m-4)^2=25,(m^2+1) Longrightarrow 9m^2-24m+16=25m^2+25 Longrightarrow 16m^2+24m+9=0 Longrightarrow (4m+3)^2=0
Logo m=-tfrac34. A reta tangente é
y=-tfrac34x Long<=ftrightarrow 3x+4y=0

Passo 4

Agora avaliamos as afirmações:
I. A reta dada tem coeficiente angular -tfrac34. A reta 3x-4y=25 tem y=tfrac34x-tfrac254, coeficiente tfrac34. Como -tfrac34neqtfrac34, não são paralelas. I é falsa.
II. A bissetriz dos quadrantes pares (II e IV) é y=-x, coeficiente -1. Como -tfrac34neq -1, não são paralelas. II é falsa.
III. A reta 4x-3y=0 tem y=tfrac43x, coeficiente tfrac43. O produto dos coeficientes -tfrac34timestfrac43=-1, logo as retas são perpendiculares. III é verdadeira.

Resposta

Somente III está correta.

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