(Mackenzie-SP) Com relação à reta que passa pela origem e é tangente à curva , considere as afirmações:
I. é paralela à reta .
II. é paralela à bissetriz dos quadrantes pares.
III. é perpendicular à reta .
Dessa forma,
a) somente I está correta.
b) somente II está correta.
d) somente I e III estão corretas.
e) I, II e III estão incorretas.
Passo 1
O enunciado dá um círculo de equação e pede a reta que passa pela origem e é tangente a esse círculo. O conteúdo é geometria analítica de retas e círculos; vamos usar a condição de tangência via distância do centro até a reta.
Passo 2
Se a reta passa pela origem com coeficiente angular , sua equação é , ou equivalentemente
A distância do centro até essa reta deve ser igual ao raio . A fórmula da distância de até é . Aqui A=m, B=-1, C=0.
I. A reta dada tem coeficiente angular -tfrac34. A reta 3x-4y=25 tem y=tfrac34x-tfrac254, coeficiente tfrac34. Como -tfrac34neqtfrac34, não são paralelas. I é falsa.
II. A bissetriz dos quadrantes pares (II e IV) é y=-x, coeficiente -1. Como -tfrac34neq -1, não são paralelas. II é falsa.
III. A reta 4x-3y=0 tem y=tfrac43x, coeficiente tfrac43. O produto dos coeficientes -tfrac34timestfrac43=-1, logo as retas são perpendiculares. III é verdadeira.
Resposta
Somente III está correta.
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 213