(Mackenzie-SP) Se 3^x+2+9^x+1=12 cdot 3^x+1, então x-2 vale:

Passo 1

O enunciado dá a equação
3^x+2+9^x+1=12cdot3^x+1
e pede o valor de x-2. O conteúdo aqui é resolução de equação exponencial: vamos colocar todas as potências na mesma base e usar uma substituição para reduzir a um polinômio.

Passo 2

Observamos que
9^x+1=(3^2)^x+1=3^2x+2,
e também
3^x+2=3cdot3^x+1
Para simplificar, façamos a substituição
t = 3^x+1,
que é sempre positivo já que 3^x+1>0.

Passo 3

Em função de t, a equação original vira
3^x+2+9^x+1=3cdot3^x+1 + l(3^x+1r)^2 = 3t + t^2
e o membro direito fica 12cdot3^x+1=12t. Logo,
t^2 + 3t = 12t
Passando tudo para um lado:
t^2 - 9t = 0 Longrightarrow t,(t-9)=0
Como t>0, concluímos t=9.

Passo 4

Voltando à definição de t:
3^x+1=9 Longrightarrow x+1=2 Longrightarrow x=1

Passo 5

Finalmente, calculamos
x-2 = 1 - 2 = -1

Resposta

-1

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