A massa de uma esfera de naftalina decresce com o tempo devido à sublimação. Supondo que a taxa de decrescimento seja proporcional à área da superficie da esfera, pode-se mostrar que o raio ( r ) da esfera varia linearmente com o tempo ( t ).
a) Sabendo que, em certo instante, o raio tinha 0,8 mm e que, quatro dias mais tarde, era de apenas 0,75 mm, encontre uma equação que forneça r (em milímetros) em termos do tempo decorrido (em dias) a partir do momento em que r=0,8 mm.
b) Determine o tempo gasto para a completa sublimação da naftalina.

Passo 1

O enunciado diz que, como a taxa de decaimento de massa é proporcional à área da superfície, o raio (r) da esfera varia de forma linear com o tempo (t). Em certo instante chamamos de t=0 esse momento em que r=0,8 mm, e quatro dias depois l(t=4r) mede-se r=0,75 mm. Vamos:
– usar a forma geral de uma função linear r(t)=r0+mt,
– calcular o coeficiente angular m,
– montar r(t),
– achar o tempo até r=0.

Passo 2

O coeficiente angular m é dado por
m=r(4)-r(0)4-0=0,75-0,84=-0,054=-0,0125(mm/dia)

Passo 3

Substituindo r0=0,8 mm e m=-0,0125 mm/dia na forma r(t)=r0+mt, obtemos
r(t)=0,8-0,0125,t(com (t) em dias e (r) em mm)

Passo 4

Para sublimação completa, fazemos r(t)=0:
0=0,8-0,0125,t Longrightarrow t=0,80,0125=64 dias

Resposta

A equação é
r(t)=0,8-0,0125,t
e o tempo até a sublimação completa é 64 dias.

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