Se n \in \mathbb{N}, define-se sucessor de n por n^{*}=n+1. Prove que ( m, n \in \mathbb{N} sempre):
n m^{*}=n m+n.

Passo 1

O enunciado define o sucessor de n\in\mathbb{N} por
n^* = n + 1
e pede para provar que, para todo m,n\in\mathbb{N},
n\,m^* \;=\; n\,m \;+\; n.
Vamos usar a definição recursiva da multiplicação em \mathbb{N} (fixando n e recursão em m) e o princípio da indução finita.

Passo 2

Caso base ( m=0). Nesse caso m^*=0^*=1. Pela definição de multiplicação recursiva:
n\cdot 0 = 0,
n\cdot (0^*) = n\cdot 1 = n\cdot 0 + n = 0 + n = n.
Logo
n\,(0^*) = n = 0 + n = n\cdot 0 + n,
que é exatamente a fórmula desejada para m=0.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para um certo m\in\mathbb{N}, valha
n\,m^* = n\,m + n.
Precisamos mostrar que então também vale para m^*, isto é,
n\,(m^*)^* = n\,(m^*) + n.
Mas essa igualdade é exatamente a cláusula de definição recursiva da multiplicação: para qualquer argumento k define-se
n\,(k^*) = n\,k + n.
Basta aplicar-la com k = m^*, obtendo
n\,(m^*)^* = n\,(m^*) + n,
que conclui o passo indutivo.

Resposta

Pelo princípio da indução, fica provado que, para todos m,n\in\mathbb{N},
n\,m^* = n\,m + n.

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