Prove por indução:
Prove por indução sobre n que:
(a^m)^n=a^m n
para quaisquer a, m, n in N, a neq 0.

Passo 1

O enunciado pede provar, por indução sobre n, que
l(a^mr)^n=a^m n
para quaisquer a,m,ninN com aneq0.
O conteúdo envolvido é a definição recursiva de potência e o princípio de indução finita.

Passo 2

Base da indução ( n=1). Pela definição de potência,
l(a^mr)^1=a^m
Por outro lado, como mcdot1=m, temos
a^mcdot1=a^m
Logo
l(a^mr)^1=a^mcdot1,
que é exatamente o caso n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum kinN valha
l(a^mr)^k=a^m k

Passo 4

Passo indutivo ( n=k+1). Usando a definição de potência,
l(a^mr)^k+1 =l(a^mr)^kcdot a^m
Pela hipótese de indução isso é
a^m kcdot a^m
Agora, interpretando cada potência como produto repetido,
underbraceacdotldotscdot am k vezes;cdot;underbraceacdotldotscdot am vezes =underbraceacdotldotscdot am k + m vezes =a^m(k+1)
Portanto
l(a^mr)^k+1=a^m(k+1)

Passo 5

Pelo princípio da indução finita, como a propriedade vale para n=1 e de n=k implica n=k+1, concluímos que ela vale para todo ninN.

Resposta

Para todo ninN e para quaisquer a,minN com aneq0, vale
l(a^mr)^n=a^m n

Exercícios de Livros Relacionados