Prove por indução:
Prove por indução sobre
que:
para quaisquer
.
Prove por indução sobre
Passo 1
O enunciado pede provar, por indução sobre
, que
para quaisquer
com
.
O conteúdo envolvido é a definição recursiva de potência e o princípio de indução finita.
O conteúdo envolvido é a definição recursiva de potência e o princípio de indução finita.
Passo 2
Base da indução (
). Pela definição de potência,
Por outro lado, como
, temos
Logo
que é exatamente o caso
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo indutivo (
). Usando a definição de potência,
Pela hipótese de indução isso é
Agora, interpretando cada potência como produto repetido,
Portanto
Passo 5
Pelo princípio da indução finita, como a propriedade vale para
n=1 e de
n=k implica
n=k+1 , concluímos que ela vale para todo
ninN .
Resposta
Para todo
ninN e para quaisquer
a,minN com
aneq0 , vale