Sc an fôr uma seqüência monótona crescente, com têrmos positivos, a série 1a1+1a1 a2+1a1 a2 a3+ldots será convergente?

Passo 1

O enunciado considera uma sequência an de termos positivos e monótona crescente, e pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1a1a2cdots an
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Defina
un = 1Pn, onde Pn = a1a2cdots an
Então
un+1un = 1/(Pn,an+1)1/Pn = 1an+1
Pelo teste da razão, se
limsupntoinftytfracun+1un<1,
a série converge; se esse limite for >1, diverge; se for =1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Note que
limsupntoinftyun+1un = limsupntoinfty1an+1 = 1liminfntoinftyan
  1. Se liminfntoinftyan>1, então limsup(un+1/un)<1 e a série converge (ela decai geometricamente a partir de certo termo).
  2. Se liminfntoinftyan<=1, então limsup(un+1/un)>=1. Nesse caso os termos un não caem rápido o bastante (aliás, se an<=1 eventualmente, un não tende a zero), logo a série diverge.

Passo 4

Em resumo, a convergência da série depende de quão longe de 1 ficam os an. Se os an estão eventualmente acima de 1+varepsilon para algum varepsilon>0, a série converge; caso contrário, diverge.

Resposta

A série
sumn=1^infty1a1a2cdots an
converge se e somente se
liminfntoinftyan>1,
isto é, se existe varepsilon>0 tal que an>=1+varepsilon para n suficientemente grande. Caso contrário, diverge.

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