Sc
fôr uma seqüência monótona crescente, com têrmos positivos, a série
será convergente?
Passo 1
O enunciado considera uma sequência
de termos positivos e monótona crescente, e pede para estudar a convergência da série
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries de termos positivos.
Passo 2
Defina
Então
Pelo teste da razão, se
,
a série converge; se esse limite for , diverge; se for
, o teste é inconclusivo.
a série converge; se esse limite for
Passo 3
Note que
- Se
, então e a série converge (ela decai geometricamente a partir de certo termo). - Se
, então . Nesse caso os termos não caem rápido o bastante (aliás, se eventualmente, não tende a zero), logo a série diverge.
Passo 4
Em resumo, a convergência da série depende de quão longe de 1 ficam os
. Se os
estão eventualmente acima de
para algum
, a série converge; caso contrário, diverge.
Resposta
A série
converge se e somente se
isto é, se existe
tal que
para
suficientemente grande. Caso contrário, diverge.