Determinar as regiões nas quais as séries abaixo são convergentes:
\sum \frac{\log \nu}{\nu^{2}},

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumnu=1^inftylognunu^2
O conteúdo aqui é teste de convergência para séries de termos não negativos. Podemos usar o teste da integral ou um teste de comparação com uma série p–adica.

Passo 2

Verificamos que, para nu>=2, a função
f(x)=log xx^2
é positiva e monótona decrescente. Logo, podemos aplicar o teste da integral:
integral2^inftylog xx^2,dx

Passo 3

Calculamos a integral por partes, escolhendo
u=log x, dv=x^-2dx. Então
du=1xdx, v=-1x
Logo
integrallog xx^2,dx =uv-integral v,du =-log xx -integrall(-1xr)1xdx =-log xx +integral x^-2dx =-log xx -1x + C
Avaliada de 2 até +infty, temos
limbtoinftyl[-tfraclog bb-tfrac1br] -l[-tfraclog22-tfrac12r] =0-l(-tfraclog2+12r) <infty

Passo 4

Como
integral2^inftylog xx^2,dx
é finita, o teste da integral garante que
sumnu=2^inftylognunu^2
converge. Adicionando o termo nu=1 não muda a convergência.

Resposta

A série
sumnu=1^inftylognunu^2
converge (na verdade converge absolutamente).

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