Determinar as regiões nas quais as séries abaixo são convergentes:
\sum \frac{\log \nu}{\nu^{2}},
\sum \frac{\log \nu}{\nu^{2}},
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo aqui é teste de convergência para séries de termos não negativos. Podemos usar o teste da integral ou um teste de comparação com uma série
–adica.
Passo 2
Verificamos que, para
, a função
é positiva e monótona decrescente. Logo, podemos aplicar o teste da integral:
Passo 3
Calculamos a integral por partes, escolhendo
. Então
Logo
Avaliada de
até
, temos
Passo 4
Como
é finita, o teste da integral garante que
converge. Adicionando o termo
não muda a convergência.
Resposta
A série
converge (na verdade converge absolutamente).