Se p=2^k+1 é primo e se a não é resto quadrático de p , prove que a é raiz primitiva, módulo p .

Passo 1

O enunciado considera um primo de Fermat p=2^k+1 e um inteiro a coprimo com p. Queremos mostrar que, se a não é resto quadrático módulo p, então a tem ordem maximal em ( Z/p Z)^times e, portanto, é raiz primitiva. Lembrando que
l|( Z/p Z)^timesr| ;=; p-1 ;=; 2^k,
ou seja, todo elemento de ( Z/p Z)^times tem ordem um divisor de 2^k.

Passo 2

Pelo Critério de Euler, para é resto quadrático},\ -1\pmod p, & se não é resto quadrático. \end{cases}]
Como e, por hipótese, não é resto quadrático, obtemos

Passo 3

A ordem de a em ( Z/p Z)^times é o menor divisor d de 2^k tal que a^dequiv1pmod p. Se houvesse d<2^k com essa propriedade, então d dividindo 2^k-1 implicaria
a^2^,k-1 =(a^d)^2^,k-1/d equiv1pmod p,
o que contradiz a^2^,k-1equiv-1. Portanto não existe divisor próprio d<2^k com a^dequiv1, e a ordem de a deve ser exatamente 2^k=p-1.

Resposta

a é raiz primitiva módulo p.

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