Prove que: mdc(a, m n) neq 1 Leftrightarrow mdc(a, m) neq 1 ou mdc(a, n) neq 1.

Resolução:

(Rightarrow) Vamos supor mdc(a, m n)=d>1, mdc(a, m)=1 e mdc(a, n)=1. Desta última relação decorre que, para convenientes x0, y0 in Z, a x0+n y0=1. Daí a m x0+m n y0=m. Como d divide as parcelas do primeiro membro desta igualdade, d mid m. Mas d|a e, sendo 1=mdc(a, m), d=1. Absurdo.
(Leftarrow) Admitamos, com a hipótese feita, que mdc(a, mn)=1. Logo, para algum par x0, y0 in Z, a x0+m n y0=1. Mas daí segue, simultaneamente, que mdc(a, m)=mdc(a, n)=1 (corolário 1, proposição 7). Absurdo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência
gcd(a,mn)neq1 ;Long<=ftrightarrow; l(gcd(a,m)neq1 ou gcd(a,n)neq1r)
Usaremos a propriedade fundamental: se um primo p divide um produto, então p divide pelo menos um dos fatores.

Passo 2

(“ Rightarrow”) Suponha gcd(a,mn)=d>1. Então existe primo p tal que pmid d, e assim
pmid a e pmid mn
Pela divisibilidade de primos, de pmid mn segue pmid m ou pmid n.
Se pmid m, então pmid a e pmid m, logo gcd(a,m)>= p>1, isto é, gcd(a,m)neq1.
Se pmid n, de modo análogo gcd(a,n)neq1.
Logo gcd(a,m)neq1 ou gcd(a,n)neq1.

Passo 3

(“ Leftarrow”) Suponha gcd(a,m)neq1 ou gcd(a,n)neq1. Sem perda de generalidade, digamos gcd(a,m)=d'>1. Seja primo p que divide d'. Então
pmid a e pmid m ;Longrightarrow; pmid mn,
logo p divide simultaneamente a e mn, o que implica gcd(a,mn)>= p>1. Portanto gcd(a,mn)neq1.

Resposta

gcd(a,mn)neq1 Long<=ftrightarrow l(gcd(a,m)neq1 ou gcd(a,n)neq1r)

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