Prove que:
ou
.
Resolução:
Vamos supor
e
. Desta última relação decorre que, para convenientes
. Daí
. Como d divide as parcelas do primeiro membro desta igualdade,
. Mas d|a e, sendo
. Absurdo.
Admitamos, com a hipótese feita, que
. Logo, para algum par
. Mas daí segue, simultaneamente, que
(corolário 1, proposição 7). Absurdo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência
Usaremos a propriedade fundamental: se um primo
divide um produto, então
divide pelo menos um dos fatores.
Passo 2
(“
”) Suponha
. Então existe primo
tal que
, e assim
Pela divisibilidade de primos, de
segue
ou
.
Se , então
e
, logo
, isto é,
.
Se , de modo análogo
.
Logo ou
.
Se
Se
Logo
Passo 3
(“
”) Suponha
ou
. Sem perda de generalidade, digamos
. Seja primo
que divide
. Então
logo
divide simultaneamente
e
, o que implica
. Portanto
.