3.2.23 Se A é uma matriz diagonal, com todos os elementos diagonais diferentes, e A e B comutam, mostre que B é diagonal.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz diagonal de ordem n,
A = diag(a1,dots,an),
com ai neq aj sempre que ineq j, e que B é uma matriz tal que
AB = BA
O conteúdo aqui é usar a teoria de autovalores e autovetores: uma matriz diagonal tem os vetores canônicos ei como autovetores, cada um de multiplicidade geométrica 1. Se B comuta com A, então B deve preservar esses autovetores, forçando-se também a ser diagonal.

Passo 2

Seja ei o i-ésimo vetor da base canônica de R^n (ou C^n). Como A é diagonal,
Aei = ai,ei,
logo ei é autovetor de A associado ao autovalor ai. Pela hipótese aineq aj para ineq j, cada autovalor tem espaço próprio de dimensão 1, gerado por ei.

Passo 3

Usamos a comutatividade AB=BA. Aplicando essa igualdade ao vetor ei, obtemos
Al(Beir) ;=; Bl(Aeir) ;Longrightarrow; Al(Beir) ;=; Bl(ai,eir) ;=; ai,l(Beir)
Isso mostra que Bei é um autovetor de A com autovalor ai.

Passo 4

Como o espaço próprio de A relativo a ai é unidimensional (span ei), qualquer vetor nele tem de ser múltiplo de ei. Logo existe escalar bi tal que
Bei = bi,ei
Em coordenadas, isso significa que a única possível contribuição de Bei fica na posição i, e as demais componentes são zero.

Passo 5

O fato de Bei=bi,ei para todo i implica que, na base canônica, B envia cada vetor canônico em múltiplo de si mesmo. Portanto, a matriz de B nessa base é diagonal,
B = diag(b1,dots,bn)

Resposta

B é diagonal.

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