3.2.23 Se A é uma matriz diagonal, com todos os elementos diagonais diferentes, e A e B comutam, mostre que B é diagonal.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz diagonal de ordem
,
com
sempre que
, e que
é uma matriz tal que
O conteúdo aqui é usar a teoria de autovalores e autovetores: uma matriz diagonal tem os vetores canônicos
como autovetores, cada um de multiplicidade geométrica 1. Se
comuta com
, então
deve preservar esses autovetores, forçando-se também a ser diagonal.
Passo 2
Seja
o
-ésimo vetor da base canônica de
(ou
). Como
é diagonal,
logo
é autovetor de
associado ao autovalor
. Pela hipótese
para
, cada autovalor tem espaço próprio de dimensão 1, gerado por
.
Passo 3
Usamos a comutatividade
. Aplicando essa igualdade ao vetor
, obtemos
Isso mostra que
é um autovetor de
com autovalor
.
Passo 4
Como o espaço próprio de
relativo a
é unidimensional (span
), qualquer vetor nele tem de ser múltiplo de
. Logo existe escalar
tal que
Em coordenadas, isso significa que a única possível contribuição de
fica na posição
, e as demais componentes são zero.
Passo 5
O fato de
para todo
implica que, na base canônica,
envia cada vetor canônico em múltiplo de si mesmo. Portanto, a matriz de
nessa base é diagonal,