3.2.23 Se A é uma matriz diagonal, com todos os elementos diagonais diferentes, e A e B comutam, mostre que B é diagonal.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz diagonal de ordem n,
A = \mathrm{diag}(a_1,\dots,a_n),
com a_i \neq a_j sempre que i\neq j, e que B é uma matriz tal que
AB = BA.
O conteúdo aqui é usar a teoria de autovalores e autovetores: uma matriz diagonal tem os vetores canônicos \mathbf{e}_i como autovetores, cada um de multiplicidade geométrica 1. Se B comuta com A, então B deve preservar esses autovetores, forçando-se também a ser diagonal.

Passo 2

Seja \mathbf{e}_i o i-ésimo vetor da base canônica de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n). Como A é diagonal,
A\mathbf{e}_i = a_i\,\mathbf{e}_i,
logo \mathbf{e}_i é autovetor de A associado ao autovalor a_i. Pela hipótese a_i\neq a_j para i\neq j, cada autovalor tem espaço próprio de dimensão 1, gerado por \mathbf{e}_i.

Passo 3

Usamos a comutatividade AB=BA. Aplicando essa igualdade ao vetor \mathbf{e}_i, obtemos
A\bigl(B\mathbf{e}_i\bigr) \;=\; B\bigl(A\mathbf{e}_i\bigr) \;\Longrightarrow\; A\bigl(B\mathbf{e}_i\bigr) \;=\; B\bigl(a_i\,\mathbf{e}_i\bigr) \;=\; a_i\,\bigl(B\mathbf{e}_i\bigr).
Isso mostra que B\mathbf{e}_i é um autovetor de A com autovalor a_i.

Passo 4

Como o espaço próprio de A relativo a a_i é unidimensional (span \{\mathbf{e}_i\}), qualquer vetor nele tem de ser múltiplo de \mathbf{e}_i. Logo existe escalar b_i tal que
B\mathbf{e}_i = b_i\,\mathbf{e}_i.
Em coordenadas, isso significa que a única possível contribuição de B\mathbf{e}_i fica na posição i, e as demais componentes são zero.

Passo 5

O fato de B\mathbf{e}_i=b_i\,\mathbf{e}_i para todo i implica que, na base canônica, B envia cada vetor canônico em múltiplo de si mesmo. Portanto, a matriz de B nessa base é diagonal,
B = \mathrm{diag}(b_1,\dots,b_n).

Resposta

B é diagonal.

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