3.2.4 (a) Números complexos, a+i b, com a e b reais, podem ser representados por (ou são isomórficos com) matrizes 2 times 2 :
a+i b rightarrow(cc a & b -b & a )
Mostre que essa representação matricial é válida para (i) adição e (ii) multiplicação.
(b) Ache a matriz correspondente (a+i b)^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
a+ i b ;longmapsto; M(a,b) ;=; a & b - b & a
preserva (i) a adição e (ii) a multiplicação de números complexos, e depois encontrar a matriz que corresponde a (a+i b)^-1. Vamos usar álgebra de matrizes e as regras usuais de soma e produto em C.

Passo 2

(i) Verificação da adição. Sejam z=a+i b e w=c+i d com as matrizes
M(z)= a & b - b & a , M(w)= c & d - d & c
Então a soma de matrizes é
M(z)+M(w) = a+c & b+d -(b+d) & a+c
que coincide com
(a+c)+i(b+d) ;longmapsto; a+c & b+d -(b+d) & a+c ,=, M(z+w)
Logo a adição fica preservada.

Passo 3

(ii) Verificação da multiplicação. Multiplicando as mesmas matrizes temos
M(z),M(w) = a & b - b & a ! c & d - d & c = a c - b d & a d + b c -l(a d + b cr) & a c - b d
Em C vale
z,w=(a+i b)(c+i d) =(a c - b d)+i(a d + b c),
e portanto
M(z,w) = a c - b d & a d + b c -l(a d + b cr) & a c - b d = M(z),M(w)
Assim a multiplicação também é preservada.

Passo 4

(b) Para achar
O produto dá o sistema
Resolvendo para obtemos
Logo a matriz inversa é

Resposta

(a) A aplicação preserva adição e multiplicação, pois
M(z+w)=M(z)+M(w), M(z,w)=M(z),M(w)
(b)
Ml((a+i b)^-1r) = 1a^2+b^2 a & -b b & a

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