3.2.4 (a) Números complexos, a+i b, com a e b reais, podem ser representados por (ou são isomórficos com) matrizes 2 \times 2 :
a+i b \leftrightarrow\left(\begin{array}{cc} a & b \\\\ -b & a \end{array}\right) .
Mostre que essa representação matricial é válida para (i) adição e (ii) multiplicação.
(b) Ache a matriz correspondente (a+i b)^{-1}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
a+ i b \;\longmapsto\; M(a,b) \;=\; \begin{pmatrix} a & b\\\\ - b & a \end{pmatrix}
preserva (i) a adição e (ii) a multiplicação de números complexos, e depois encontrar a matriz que corresponde a (a+i b)^{-1}. Vamos usar álgebra de matrizes e as regras usuais de soma e produto em \mathbb{C}.
Passo 2
(i) Verificação da adição. Sejam z=a+i b e w=c+i d com as matrizes
M(z)= \begin{pmatrix} a & b\\\\ - b & a \end{pmatrix}, \quad M(w)= \begin{pmatrix} c & d\\\\ - d & c \end{pmatrix}.
(ii) Verificação da multiplicação. Multiplicando as mesmas matrizes temos
M(z)\,M(w) = \begin{pmatrix} a & b\\\\ - b & a \end{pmatrix} \! \begin{pmatrix} c & d\\\\ - d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a c - b d & a d + b c\\\\ -\bigl(a d + b c\bigr) & a c - b d \end{pmatrix}.
Em \mathbb{C} vale
z\,w=(a+i b)(c+i d) =(a c - b d)+i(a d + b c),
e portanto
M(z\,w) = \begin{pmatrix} a c - b d & a d + b c\\\\ -\bigl(a d + b c\bigr) & a c - b d \end{pmatrix} = M(z)\,M(w).
Assim a multiplicação também é preservada.
Passo 4
(b) Para achar M\bigl((a+i b)^{-1}\bigr)\), procuramos uma matriz
\(\begin{pmatrix}x&y\\\ -y&x\end{pmatrix}\) tal que
\[\begin{pmatrix} a & b\\\\ - b & a \end{pmatrix} \! \begin{pmatrix} x & y\\\\ - y & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
O produto dá o sistema
\begin{cases} a x - b y = 1,\\\ a y + b x = 0. \end{cases}