3.2.32 Se A ^-1 tem elementos
(A^-1)i j=ai j^(-1)=Cj i|A|
em que Cj i é o co-fator de ordem j i de |A|, mostre que
A^-1 A=1
Por conseqüência, se A^-1 é a inversa de A (if |A| neq 0 ).

Passo 1

O enunciado nos diz que, para uma matriz quadrada inversível A (ou seja, |A|neq0), os elementos de A^-1 são dados por
(A^-1)ij ;=; aij^(-1) ;=;Cji|A|,
onde Cji é o cofator de ordem j,i de |A|. O objetivo é mostrar que
A^-1A = I,
usando propriedades de determinante, cofatores e a expansão de Laplace.

Passo 2

Vamos olhar para o elemento genérico (i,j) do produto A^-1A. Por definição de produto de matrizes,
(A^-1A)ij =sumk=1^n(A^-1)ik,Akj

Passo 3

Substituindo a fórmula de (A^-1)ik, fica
(A^-1A)ij =sumk=1^nCk i|A|,Ak j =1|A|sumk=1^nAk j,Ck i

Passo 4

Pela expansão de Laplace de
E, de modo geral, se trocar o índice do cofator (ou seja, expandir numa coluna diferente da que aparece no coeficiente), o valor é zero. Em suma,
que é justamente (\delta_{ij}|A|]. Assim

Resposta

Como todos os elementos (i,j) de A^-1A satisfazem (A^-1A)ij=de<aij, concluímos que
A^-1A = I

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