3.2.32 Se A
tem elementos
em que
é o co-fator de ordem
de
, mostre que
Por conseqüência, se
é a inversa de
(if
).
Passo 1
O enunciado nos diz que, para uma matriz quadrada inversível
(ou seja,
), os elementos de
são dados por
onde
é o cofator de ordem
de
. O objetivo é mostrar que
usando propriedades de determinante, cofatores e a expansão de Laplace.
Passo 2
Vamos olhar para o elemento genérico
do produto
. Por definição de produto de matrizes,
Passo 3
Substituindo a fórmula de
, fica
Passo 4
Pela expansão de Laplace de
E, de modo geral, se trocar o índice do cofator (ou seja, expandir numa coluna diferente da que aparece no coeficiente), o valor é zero. Em suma,
que é justamente (\delta_{ij}|A|]. Assim
Resposta
Como todos os elementos
(i,j) de
A^-1A satisfazem
(A^-1A)ij=de<aij , concluímos que