3.2.32 Se A { }^{-1} tem elementos
\left(\mathrm{A}^{-1}\right)_{i j}=a_{i j}^{(-1)}=\frac{C_{j i}}{|\mathrm{~A}|}
em que C_{j i} é o co-fator de ordem j i de |\mathrm{A}|, mostre que
\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~A}=1
Por conseqüência, se A^{-1} é a inversa de A (if |A| \neq 0 ).

Passo 1

O enunciado nos diz que, para uma matriz quadrada inversível A (ou seja, |A|\neq0), os elementos de A^{-1} são dados por
(A^{-1})_{ij} \;=\; a_{ij}^{(-1)} \;=\;\frac{C_{ji}}{|A|},
onde C_{ji} é o cofator de ordem j,i de |A|. O objetivo é mostrar que
A^{-1}A = I,
usando propriedades de determinante, cofatores e a expansão de Laplace.

Passo 2

Vamos olhar para o elemento genérico (i,j) do produto A^{-1}A. Por definição de produto de matrizes,
(A^{-1}A)_{ij} =\sum_{k=1}^{n}(A^{-1})_{ik}\,A_{kj}.

Passo 3

Substituindo a fórmula de (A^{-1})_{ik}, fica
(A^{-1}A)_{ij} =\sum_{k=1}^{n}\frac{C_{k i}}{|A|}\,A_{k j} =\frac{1}{|A|}\sum_{k=1}^{n}A_{k j}\,C_{k i}.

Passo 4

Pela expansão de Laplace de |A|\) ao longo da coluna \(j\), temos \[\sum_{k=1}^{n}A_{k j}\,C_{k j}=|A|.
E, de modo geral, se trocar o índice do cofator (ou seja, expandir numa coluna diferente da que aparece no coeficiente), o valor é zero. Em suma,
\sum_{k=1}^{n}A_{k j}\,C_{k i} =\begin{cases} |A|,&\text{se }i=j,\\\\ 0,&\text{se }i\neq j, \end{cases}
que é justamente (\delta_{ij}|A|]. Assim
(A^{-1}A)_{ij} =\frac{1}{|A|}\,\delta_{ij}|A| =\delta_{ij}.

Resposta

Como todos os elementos (i,j) de A^{-1}A satisfazem (A^{-1}A)_{ij}=\delta_{ij}, concluímos que
A^{-1}A = I.

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