3.2.27 (a) O operador traço substitui uma matriz A por seu traço; isto é,
\operatorname{traço}(\mathrm{A})=\sum_{i} a_{i i}̧
Mostre que o traço é um operador linear.
(b) O operador det substitui uma matriz A por seu determinante; isto é,
\operatorname{det}(A)=\text { determinante de } A \text {. }
Mostre que det não é um operador linear.

Passo 1

O enunciado define dois operadores sobre matrizes: o operador “traço”, que a uma matriz A=(a_{ij}) associa
\operatorname{traço}(A)=\sum_{i}a_{ii},ç
e o operador “det”, que a A associa seu determinante \det(A). Precisamos mostrar que o traço satisfaz as propriedades de linearidade e que o determinante não.

Passo 2

Lembrando a definição: um operador T é linear se, para quaisquer matrizes A,B da mesma ordem e escalar c, vale
  1. T(A+B)=T(A)+T(B) (aditividade),
  2. T(cA)=c\,T(A) (homogeneidade).
Vamos verificar essas duas propriedades para \operatorname{traço}ç.
  • Aditividade:
\operatorname{traço}(A+B) =\sum_{i}(a_{ii}+b_{ii}) =\sum_{i}a_{ii}+\sum_{i}b_{ii} =\operatorname{traço}(A)+\operatorname{traço}(B).ççç
  • Homogeneidade:
\operatorname{traço}(cA) =\sum_{i}(c\,a_{ii}) =c\sum_{i}a_{ii} =c\,\operatorname{traço}(A).çç
Como ambas as propriedades são satisfeitas, concluímos que \operatorname{traço}ç é um operador linear.

Passo 3

Para ver que \det não é linear, basta um contraexemplo à aditividade. Considere matrizes 2\times2:
A=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad B=I_2.
Então
A+B=2I_2,\quad \det(A+B)=\det(2I_2)=2^2=4,
porém
\det(A)+\det(B)=1+1=2.
Como \det(A+B)\neq\det(A)+\det(B), o operador determinante falha na aditividade, e uma vez que \det não satisfaz T(A+B)=T(A)+T(B), ele não pode ser linear.

Resposta

(a) O operador traço é linear.
(b) O operador determinante não é linear (contraexemplo: A=B=I_2).

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