3.2.27 (a) O operador traço substitui uma matriz A por seu traço; isto é,
traço(A)=sumi ai i ̧
Mostre que o traço é um operador linear.
(b) O operador det substitui uma matriz A por seu determinante; isto é,
det(A)= determinante de A
Mostre que det não é um operador linear.

Passo 1

O enunciado define dois operadores sobre matrizes: o operador “traço”, que a uma matriz A=(aij) associa
traço(A)=sumiaii, ç
e o operador “det”, que a A associa seu determinante det(A). Precisamos mostrar que o traço satisfaz as propriedades de linearidade e que o determinante não.

Passo 2

Lembrando a definição: um operador T é linear se, para quaisquer matrizes A,B da mesma ordem e escalar c, vale
  1. T(A+B)=T(A)+T(B) (aditividade),
  2. T(cA)=c,T(A) (homogeneidade).
Vamos verificar essas duas propriedades para traçoç.
  • Aditividade:
traço(A+B) =sumi(aii+bii) =sumiaii+sumibii =traço(A)+traço(B) ççç
  • Homogeneidade:
traço(cA) =sumi(c,aii) =csumiaii =c,traço(A) çç
Como ambas as propriedades são satisfeitas, concluímos que traçoç é um operador linear.

Passo 3

Para ver que det não é linear, basta um contraexemplo à aditividade. Considere matrizes 2times2:
A=I2=1&00&1, B=I2
Então
A+B=2I2, det(A+B)=det(2I2)=2^2=4,
porém
det(A)+det(B)=1+1=2
Como det(A+B)neqdet(A)+det(B), o operador determinante falha na aditividade, e uma vez que det não satisfaz T(A+B)=T(A)+T(B), ele não pode ser linear.

Resposta

(a) O operador traço é linear.
(b) O operador determinante não é linear (contraexemplo: A=B=I2).

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