3.2.27 (a) O operador traço substitui uma matriz A por seu traço; isto é,
Mostre que o traço é um operador linear.
(b) O operador det substitui uma matriz A por seu determinante; isto é,
Mostre que det não é um operador linear.
(b) O operador det substitui uma matriz A por seu determinante; isto é,
Passo 1
O enunciado define dois operadores sobre matrizes: o operador “traço”, que a uma matriz
associa
e o operador “det”, que a
associa seu determinante
. Precisamos mostrar que o traço satisfaz as propriedades de linearidade e que o determinante não.
Passo 2
Lembrando a definição: um operador
é linear se, para quaisquer matrizes
da mesma ordem e escalar
, vale
-
(aditividade), -
(homogeneidade).
Vamos verificar essas duas propriedades para
.
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, concluímos que
é um operador linear.
Passo 3
Para ver que
não é linear, basta um contraexemplo à aditividade. Considere matrizes
:
Então
porém
Como
, o operador determinante falha na aditividade, e uma vez que
não satisfaz
, ele não pode ser linear.
Resposta
(a) O operador traço é linear.
(b) O operador determinante não é linear (contraexemplo: ).
(b) O operador determinante não é linear (contraexemplo: