Uma matriz A n times n é dita ser nilpotente de índice m se m for o menor inteiro positivo para o qual A^m=0. Quais das seguintes matrizes são nilpotentes? Qual é o índice das que são nilpotentes?
(rr1 & 0 -1 & 0)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 -1 & 0,
e pede para verificar se A é nilpotente e, em caso afirmativo, determinar o menor inteiro positivo m tal que A^m = 0. Para isso, vamos calcular as potências de A.

Passo 2

Calculemos
A^2 = 1 & 0 -1 & 0 1 & 0 -1 & 0
Fazendo a multiplicação de matrizes, obtemos
A^2 = 1cdot1 + 0cdot(-1) & 1cdot0 + 0cdot0 [6pt] (-1)cdot1 + 0cdot(-1) & (-1)cdot0 + 0cdot0 = 1 & 0 -1 & 0 = A ]

Passo 3

Como A^2 = A, segue por indução que
A^m = Apara todo inteiro m>=1
Logo, nenhuma potência de A (com m>=1) é a matriz nula.

Resposta

A matriz 1 & 0 -1 & 0 não é nilpotente.

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