As três matrizes de spin de Pauli são
sigma1=(cc0 & 1 1 & 0), sigma2=(cc0 & -i i & 0), e sigma3=(cc1 & 0 0 & -1)
Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron.
sigmaj sigmak=i sigmal,(j, k, l)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) (permutação cíclica)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes de Pauli
sigma1=0 & 1 [6pt] 1 & 0, sigma2=0 & -i [3pt] i & 0, sigma3=1 & 0 [3pt] 0 & -1
e pede para mostrar que, para permutações cíclicas (j,k,l)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2), vale
sigmaj,sigmak = i,sigmal
Vamos usar multiplicação de matrizes 2times2 e identificar o resultado com i vezes a matriz indicada.]

Passo 2

Calculemos sigma1sigma2:
sigma1sigma2 =0 & 1[3pt]1 & 0 0 & -i[3pt]i & 0 = 0cdot0 + 1cdot i & 0cdot(-i)+1cdot0[6pt] 1cdot0 + 0cdot i & 1cdot(-i)+0cdot0 =i & 0[3pt]0 & -i
Como
i & 0[3pt]0 & -i = i 1 & 0[3pt]0 & -1 = i,sigma3,
concluímos sigma1sigma2=i,sigma3.]

Passo 3

Agora sigma2sigma3:
sigma2sigma3 =0 & -i[3pt]i & 0 1 & 0[3pt]0 & -1 = 0cdot1 + (-i)cdot0 & 0cdot0 + (-i)cdot(-1)[6pt] icdot1 + 0cdot0 & icdot0 + 0cdot(-1) =0 & i[3pt]i & 0
e reparando que
0 & i[3pt]i & 0 = i0 & 1[3pt]1 & 0 = i,sigma1,
vem sigma2sigma3=i,sigma1.]

Passo 4

Por fim, sigma3sigma1:
sigma3sigma1 =1 & 0[3pt]0 & -1 0 & 1[3pt]1 & 0 = 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot1 + 0cdot0[6pt] 0cdot0 + (-1)cdot1 & 0cdot1 + (-1)cdot0 =0 & 1[3pt]-1 & 0
e notando
0 & 1[3pt]-1 & 0 = i0 & -i[3pt]i & 0 = i,sigma2,
seguimos com sigma3sigma1=i,sigma2.]

Resposta

sigma1sigma2=i,sigma3, sigma2sigma3=i,sigma1, sigma3sigma1=i,sigma2

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