As três matrizes de spin de Pauli são
\sigma_{1}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\\ i & 0\end{array}\right), \quad \text { e } \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right) .
Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron.
\sigma_{j} \sigma_{k}=i \sigma_{l},(j, k, l)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) (permutação cíclica)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes de Pauli
\sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{2}=\begin{pmatrix}0 & -i \\[3pt] i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix}
e pede para mostrar que, para permutações cíclicas (j,k,l)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2), vale
\sigma_j\,\sigma_k = i\,\sigma_l.
Vamos usar multiplicação de matrizes 2\times2 e identificar o resultado com i vezes a matriz indicada.]

Passo 2

Calculemos \sigma_{1}\sigma_{2}:
\sigma_{1}\sigma_{2} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot i & 0\cdot(-i)+1\cdot0\\[6pt] 1\cdot0 + 0\cdot i & 1\cdot(-i)+0\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}i & 0\\[3pt]0 & -i\end{pmatrix}.
Como
\begin{pmatrix}i & 0\\[3pt]0 & -i\end{pmatrix} = i \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix} = i\,\sigma_{3},
concluímos \sigma_{1}\sigma_{2}=i\,\sigma_{3}.]

Passo 3

Agora \sigma_{2}\sigma_{3}:
\sigma_{2}\sigma_{3} =\begin{pmatrix}0 & -i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot1 + (-i)\cdot0 & 0\cdot0 + (-i)\cdot(-1)\\[6pt] i\cdot1 + 0\cdot0 & i\cdot0 + 0\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix}
e reparando que
\begin{pmatrix}0 & i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} = i\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} = i\,\sigma_{1},
vem \sigma_{2}\sigma_{3}=i\,\sigma_{1}.]

Passo 4

Por fim, \sigma_{3}\sigma_{1}:
\sigma_{3}\sigma_{1} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot1 + 0\cdot0\\[6pt] 0\cdot0 + (-1)\cdot1 & 0\cdot1 + (-1)\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-1 & 0\end{pmatrix}
e notando
\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-1 & 0\end{pmatrix} = i\begin{pmatrix}0 & -i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} = i\,\sigma_{2},
seguimos com \sigma_{3}\sigma_{1}=i\,\sigma_{2}.]

Resposta

\sigma_{1}\sigma_{2}=i\,\sigma_{3},\quad \sigma_{2}\sigma_{3}=i\,\sigma_{1},\quad \sigma_{3}\sigma_{1}=i\,\sigma_{2}.

Exercícios de Livros Relacionados