As três matrizes de spin de Pauli são \sigma_{1}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\\ i & 0\end{array}\right), \quad \text { e } \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right) . Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron. \sigma_{j} \sigma_{k}=i \sigma_{l},(j, k, l)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) (permutação cíclica) Passo 1O enunciado dá as matrizes de Pauli \sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{2}=\begin{pmatrix}0 & -i \\[3pt] i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix} e pede para mostrar que, para permutações cíclicas (j,k,l)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2), vale \sigma_j\,\sigma_k = i\,\sigma_l. Vamos usar multiplicação de matrizes 2\times2 e identificar o resultado com i vezes a matriz indicada.] Passo 2Calculemos \sigma_{1}\sigma_{2}: \sigma_{1}\sigma_{2} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot i & 0\cdot(-i)+1\cdot0\\[6pt] 1\cdot0 + 0\cdot i & 1\cdot(-i)+0\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}i & 0\\[3pt]0 & -i\end{pmatrix}. Como \begin{pmatrix}i & 0\\[3pt]0 & -i\end{pmatrix} = i \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix} = i\,\sigma_{3}, concluímos \sigma_{1}\sigma_{2}=i\,\sigma_{3}.] Passo 3Agora \sigma_{2}\sigma_{3}: \sigma_{2}\sigma_{3} =\begin{pmatrix}0 & -i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot1 + (-i)\cdot0 & 0\cdot0 + (-i)\cdot(-1)\\[6pt] i\cdot1 + 0\cdot0 & i\cdot0 + 0\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} e reparando que \begin{pmatrix}0 & i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} = i\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} = i\,\sigma_{1}, vem \sigma_{2}\sigma_{3}=i\,\sigma_{1}.] Passo 4Por fim, \sigma_{3}\sigma_{1}: \sigma_{3}\sigma_{1} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot1 + 0\cdot0\\[6pt] 0\cdot0 + (-1)\cdot1 & 0\cdot1 + (-1)\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-1 & 0\end{pmatrix} e notando \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-1 & 0\end{pmatrix} = i\begin{pmatrix}0 & -i\\[3pt]i & 0\end{pmatrix} = i\,\sigma_{2}, seguimos com \sigma_{3}\sigma_{1}=i\,\sigma_{2}.] Resposta \sigma_{1}\sigma_{2}=i\,\sigma_{3},\quad \sigma_{2}\sigma_{3}=i\,\sigma_{1},\quad \sigma_{3}\sigma_{1}=i\,\sigma_{2}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 3.2 - Ex. 3.2.13.bExercícios de Livros Relacionados3.2.11 Seja \mathrm{i}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{j}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) e \mathrm{k}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) Mostre que (a) \mathrm{i}^{2}=\mathrm{j}^{2}=\mathrm{k}^{2}=-1, em que 1 é a matriz unitária. (b) \mathrm{ij}=-\mathrm{ji}=\mathrm{k}, \begin{aligned} & \mathrm{jk}=-\mathrm{kj}=\mathrm{i}, \\\ & \mathrm{ki}=-\mathrm{ik}=\mathrm{j} . \end{aligned} Essas três matrizes ( \mathrm{i}, \mathrm{j} e k) mais a matriz unitária 1 formam uma base para quatérnions. Uma base alternativa é dada pelas quatro matrizes 2 \times 2 i \sigma_{1}, i \sigma_{2},-i \sigma_{3}, 1, em que os sigma são as matrizes de spin de Pauli do Exercício 3.2.13. 3.2.29 Sendo |xrang<= um vetor coluna N dimensional e lang<= y| um vetor linha N dimensional, mostre que traço(|xrang<=lang<= y|)=lang<= y mid xrang<= ̧ Nota: |xrang<=lang<= y| significa produto direto de vetor coluna |xrang<= com vetor lang<= y|. O resultado é uma matriz quadrada N times N. 3.2.5 Se A é uma matriz n \times n, mostre que \operatorname{det}(-\mathrm{A})=(-1)^{n} \operatorname{det} \mathrm{~A} . 3.2.15 Uma descrição de partículas de spin 1 usa as matrizes Mx=1raiz2(ccc 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ), My=1raiz2(ccc 0 & -i & 0 i & 0 & -i 0 & i & 0 ) e Mz=(ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 ) Mostre que (a) [Mx, My]=i Mz, e assim por diante ^12 (permutação cíclica de índices). Usando o símbolo de Levi-Civita da Seção 2.9, podemos escrever [Mp, Mq]=i varepsilonp q r Mr (b) M^2 equiv Mx^2+My^2+Mz^2=213, em que 13 é a matriz unidade 3 times 3. (c) [M^2, Mi]=0, [Mz, L^+]=L^+, [L^+, L^-]=2 Mz, em que L^+ equiv Mx+i My, L^- equiv Mx-i My. 3.2.23 Se A é uma matriz diagonal, com todos os elementos diagonais diferentes, e A e B comutam, mostre que B é diagonal.