3.2.2 Mostre que
se, e somente se, A e B comutarem,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para dois operadores (ou matrizes)
e
, vale
se, e somente se, eles comutam, isto é,
O conteúdo aqui é álgebra matricial (ou de operadores) e vamos usar a distributividade do produto e a definição de comutador.
Passo 2
Expandimos o produto
usando distributividade em duas etapas:
Em seguida:
Somando esses termos, obtemos
Passo 3
Reagrupando, vemos que
Portanto, a diferença entre
e
é exatamente o termo
.
Passo 4
Se
e
comutam, então por definição
ou seja,
. Substituindo em
segue imediatamente
Passo 5
Reciprocamente, se assumirmos que
então, comparando com a expansão
temos necessariamente
Multiplicando por
, obtemos
, ou seja,
. Assim, a identidade implica a comutação.
Resposta
Mostramos que
se, e somente se,
.