3.2.2 Mostre que
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}
se, e somente se, A e B comutarem,
[\mathrm{A}, \mathrm{~B}]=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para dois operadores (ou matrizes) A e B, vale
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}
se, e somente se, eles comutam, isto é,
[A,B]=AB-BA=0.
O conteúdo aqui é álgebra matricial (ou de operadores) e vamos usar a distributividade do produto e a definição de comutador.

Passo 2

Expandimos o produto (A+B)(A-B) usando distributividade em duas etapas:
(A+B)(A-B)=A(A-B)+B(A-B).
Em seguida:
A(A-B)=A^{2}-AB,
B(A-B)=BA - B^{2}.
Somando esses termos, obtemos
(A+B)(A-B)=A^{2}-AB + BA - B^{2}.

Passo 3

Reagrupando, vemos que
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} + (BA - AB).
Portanto, a diferença entre (A+B)(A-B) e A^{2}-B^{2} é exatamente o termo BA-AB.

Passo 4

Se A e B comutam, então por definição
[A,B]=AB-BA=0,
ou seja, BA-AB=0. Substituindo em
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} + (BA - AB),
segue imediatamente
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}.

Passo 5

Reciprocamente, se assumirmos que
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2},
então, comparando com a expansão
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} + (BA - AB),
temos necessariamente
BA - AB = 0.
Multiplicando por -1, obtemos AB - BA = 0, ou seja, [A,B]=0. Assim, a identidade implica a comutação.

Resposta

Mostramos que (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} se, e somente se, [A,B]=0.

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