A mediana AM de um triângulo ABC mede 6 cm , divide o lado oposto em dois segmentos iguais a 12 cm e forma com esse lado dois ângulos que diferem de 60^circ. Determine as medidas dos lados desse triângulo.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o triângulo ABC com mediana AM de comprimento ,6 cm. O ponto M é o ponto médio de BC, de modo que BM=MC. Além disso a reta AM forma com o segmento BC dois ângulos cujas medidas diferem em 60^circ.
Conteúdo: vamos usar a definição de mediana e a Lei dos Cossenos em cada um dos triângulos ABM e ACM.

Passo 2

Como M é ponto médio de BC, temos
BM=MC=12 cm,
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BC=BM+MC=24 cm
Chame de theta=ang<= AMB e de 180^circ-theta=ang<= AMC. Como esses dois ângulos diferem em 60^circ, vale
l|theta-(180^circ-theta)r|=60^circ ;Longrightarrow; |2theta-180^circ|=60^circ ;Longrightarrow; theta=120^circe180^circ-theta=60^circ

Passo 3

No triângulo ABM aplicamos a Lei dos Cossenos em relação ao ângulo ang<= AMB=120^circ:
AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2,(AM)(BM)cos120^circ

Passo 4

Substituindo AM=6, BM=12 e cos120^circ=-tfrac12, vem
AB^2 = 6^2 + 12^2 - 2cdot6cdot12cdotl(-tfrac12r) =36+144+72=252,
portanto
AB=raiz252=6raiz7 cm

Passo 5

No triângulo ACM aplicamos a Lei dos Cossenos em relação ao ângulo ang<= AMC=60^circ:
AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2,(AM)(CM)cos60^circ
Substituindo CM=12 e cos60^circ=tfrac12, dá
AC^2 = 36+144-2cdot6cdot12cdottfrac12 =180-72=108,
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AC=raiz108=6raiz3 cm

Resposta

Os comprimentos dos lados do triângulo são
AB = 6raiz7 cm, AC = 6raiz3 cm, BC = 24 cm

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