As medidas das faces de um ângulo tetraédrico convexo são 120^circ, 140^circ, 90^circ e x. Dê o intervalo de variação de x.

Passo 1

O enunciado fala de um ângulo tetraédrico convexo cujas “faces” são quatro planos que se intersectam num vértice, gerando quatro ângulos diedros. Denotemos esses ângulos por
a=120^circ, b=140^circ, c=90^circ, d=x
Para que esses quatro ângulos sejam os ângulos diedros de um ângulo tetraédrico convexo, vale o seguinte critério (generalização da desigualdade triangular):
  1. Cada um deve ser menor que a soma dos outros três:
a<b+c+d, b<a+c+d, c<a+b+d, d<a+b+c
  1. A soma de todos deve ser menor que 360^circ:
a+b+c+d<360^circ

Passo 2

Aplicando as desigualdades “cada um menor que a soma dos outros três”:
  1. a<b+c+d vira
120^circ<140^circ+90^circ+xLongrightarrow x>-110^circ,
que é sempre verdade para qualquer x>0.
2. b<a+c+d
140^circ<120^circ+90^circ+xLongrightarrow x>-110^circ,
também trivial para x>0.
3. c<a+b+d
90^circ<120^circ+140^circ+xLongrightarrow x>-170^circ,
de novo trivial.
4. d<a+b+c
x<120^circ+140^circ+90^circ=350^circ

Passo 3

Agora a soma total menor que 360^circ:
120^circ+140^circ+90^circ+x<360^circ Longrightarrow 350^circ+x<360^circ Longrightarrow x<10^circ

Passo 4

Juntando todas as condições não-triviais (e lembrando que x>0 pois é ângulo):
0^circ<x<10^circ

Resposta

0^circ<x<10^circ

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