As medidas das faces de um ângulo tetraédrico convexo são
e
. Dê o intervalo de variação de
.
Passo 1
O enunciado fala de um ângulo tetraédrico convexo cujas “faces” são quatro planos que se intersectam num vértice, gerando quatro ângulos diedros. Denotemos esses ângulos por
Para que esses quatro ângulos sejam os ângulos diedros de um ângulo tetraédrico convexo, vale o seguinte critério (generalização da desigualdade triangular):
- Cada um deve ser menor que a soma dos outros três:
- A soma de todos deve ser menor que
:
Passo 2
Aplicando as desigualdades “cada um menor que a soma dos outros três”:
-
vira
que é sempre verdade para qualquer
.
2. dá
2.
também trivial para
.
3. dá
3.
de novo trivial.
4. dá
4.
Passo 3
Agora a soma total menor que
:
Passo 4
Juntando todas as condições não-triviais (e lembrando que
pois é ângulo):