Sendo
e
os planos conduzidos pelas arestas de um triedro e perpendiculares aos planos das faces opostas, prove que
e
têm uma reta comum.
Passo 1
Temos um triedro de vértice
cujas arestas são
,
e
. As faces opostas a essas arestas são os planos
,
e
. Definimos:
– como o plano que contém
e é perpendicular ao plano
,
– como o plano que contém
e é perpendicular ao plano
,
– como o plano que contém
e é perpendicular ao plano
.
Queremos mostrar que ,
e
possuem uma reta comum.
–
–
–
Queremos mostrar que
Passo 2
Considere a reta de interseção
Como
em
, toda reta contida em
é perpendicular a qualquer reta de
que passe por
.
Passo 3
Em particular, do fato de
segue que
Passo 4
De modo análogo,
implica que
Passo 5
Como
é perpendicular a
e a
, concluímos que
ou seja,
é perpendicular ao plano
.
Passo 6
Por definição,
é o plano que contém a reta
e é perpendicular ao plano
. A reta
passa por
, intersecta
em
e já mostramos que
. Logo,
.
Resposta
A reta
também está contida em
. Portanto
,
e
têm uma reta comum.