Sendo alpha, beta e gamma os planos conduzidos pelas arestas de um triedro e perpendiculares aos planos das faces opostas, prove que alpha, beta e gamma têm uma reta comum.

Passo 1

Temos um triedro de vértice O cujas arestas são OA, OB e OC. As faces opostas a essas arestas são os planos (BOC), (AOC) e (AOB). Definimos:
alpha como o plano que contém OA e é perpendicular ao plano (BOC),
beta como o plano que contém OB e é perpendicular ao plano (AOC),
gamma como o plano que contém OC e é perpendicular ao plano (AOB).
Queremos mostrar que alpha, beta e gamma possuem uma reta comum.

Passo 2

Considere a reta de interseção
ell ;=;alpha;cap;beta
Como alphaperp (BOC) em O, toda reta contida em ell é perpendicular a qualquer reta de (BOC) que passe por O.

Passo 3

Em particular, do fato de alphaperp (BOC) segue que
ell;perp;OB e ell;perp;OC

Passo 4

De modo análogo, betaperp (AOC) implica que
ell;perp;OA e ell;perp;OC

Passo 5

Como ell é perpendicular a OA e a OB, concluímos que
ell;perp;(AOB),
ou seja, ell é perpendicular ao plano (AOB).

Passo 6

Por definição, gamma é o plano que contém a reta OC e é perpendicular ao plano (AOB). A reta ell passa por O, intersecta OC em O e já mostramos que ellperp (AOB). Logo, ellsubsetgamma.

Resposta

A reta ell=alphacapbeta também está contida em gamma. Portanto alpha, beta e gamma têm uma reta comum.

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