Qual é menor número de três algarismos que, dividido por 5 e por 9, deixa resto 4?

Passo 1

O enunciado pede o menor número de três algarismos N que satisfaça
Nequiv4pmod5 e Nequiv4pmod9
O conteúdo aqui é o Teorema Chinês dos Resíduos: como 5 e 9 são coprimos, podemos combinar as duas congruências.

Passo 2

Da primeira condição temos
N = 5k + 4,
para algum inteiro k. Isso equivale a Nequiv4pmod5.

Passo 3

Substituindo em Nequiv4pmod9,
5k + 4 equiv 4 pmod9
leva a
5k equiv 0 pmod9

Passo 4

Como gcd(5,9)=1, o inverso de 5 módulo 9 existe (é 2), logo podemos concluir
k equiv 0 pmod9 Longrightarrow k = 9m,;minZ

Passo 5

Substituindo k=9m em N=5k+4, obtemos a forma geral
N = 45m + 4

Passo 6

Queremos o menor N>=100. Então
45m + 4 >= 100 Longrightarrow 45m >= 96 Longrightarrow m >= 9645approx2,13
O menor inteiro que satisfaz é m=3, então
N = 45cdot3 + 4 = 139

Resposta

139

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