Calcule o número de quatro algarismos que satisfaça, ao mesmo tempo, às seguintes condições:
a) seja divisível por 4, por 5 e por 9;
b) o valor absoluto do algarismo dos milhares exceda o valor absoluto do das unidades de três;
c) o valor absoluto do algarismo das centenas seja o dobro do valor absoluto do algarismo das dezenas.
Passo 1
O enunciado pede um número de quatro algarismos, digamos , tal que:
seja divisível por , por e por ;
o algarismo dos milhares (\(a\)) excede o das unidades (\(d\)) de unidades;
o algarismo das centenas (\(b\)) vale o dobro do das dezenas (\(c\)).
Vamos usar a regra de divisibilidade por (), por (os dois últimos dígitos formam um número múltiplo de ) e por (soma dos dígitos múltipla de ), além das equações de condição entre dígitos.
Passo 2
Das condições entre dígitos temos:
a = d + 3, b = 2c,
com a,b,c,din0,1,dots,9 e a>=1.
Para a divisibilidade: 1. Por 5: din0,5 2. Por 4: 10c + d deve ser múltiplo de 4. 3. Por 9:
a + b + c + d equiv 0pmod9
Passo 3
Caso d=0:
Então a=0+3=3.
A divisibilidade por 4 exige 10c+0=10c múltiplo de 4, ou seja 2cequiv0pmod4, logo c par.
Como b=2c<=9, temos cin0,1,2,3,4 e ainda c par Rightarrow cin0,2,4.
Soma dos dígitos: a+b+c+d = 3 + 2c + c + 0 = 3 + 3c Para ser múltiplo de 9, 3+3cequiv0pmod9 Rightarrow 1+cequiv0pmod3 Rightarrow cequiv2pmod3.
Dentre 0,2,4 só c=2 satisfaz. Então c=2, b=2c=4.
O número é abcd = 3,4,2,0 = 3420, que de fato é múltiplo de 4, de 5 e de 9.
Passo 4
Caso d=5:
Teríamos a=8.
Para a divisibilidade por 4, 10c+5 precisa ser múltiplo de 4. Mas 10c+5equiv2c+1pmod4 não se anula para nenhum cin0,dots,9.
Logo não há solução com d=5.
Resposta
3420
Cálculo - João Barcelos Neto - Matemática para Físicos - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 5.10. Exercícios Propostos - Ex. 38