Uma mercearia tem em seu estoque pacotes de café de 6 marcas diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes de café. De quantas formas pode fazê-lo?

Passo 1

O enunciado pergunta de quantas formas uma pessoa pode comprar 8 pacotes de café, sendo que há 6 marcas diferentes e os pacotes de uma mesma marca são indistinguíveis entre si. O conteúdo envolvido é combinações com repetição, também conhecido como método “stars and bars”.

Passo 2

Para aplicar o método, definimos variáveis ,xi para i=1,2,dots,6, onde ,xi é o número de pacotes comprados da marca i. Precisamos contar o número de soluções não negativas da equação
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 8,
com xi>=0. O teorema de combinações com repetição diz que esse total é
binomn + k - 1k,
onde n=6 é o número de “caixas” (marcas) e k=8 é o número de “objetos” (pacotes).

Passo 3

Substituindo n=6 e k=8,
binom6 + 8 - 18 = binom138 = binom135
Agora calculamos binom135:
binom135 = 13 times 12 times 11 times 10 times 95 times 4 times 3 times 2 times 1 = 154440120 = 1287

Resposta

1287

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