1. (México-88) Considere duas circunferências tangentes exteriormente e de raios distintos. Suas tangentes comuns formam um triângulo. Calcule a área deste triângulo em função dos raios das circunferências.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas circunferências externamente tangentes de raios r_1 e r_2 (com r_2 > r_1). Elas admitem exatamente três tangentes comuns: duas tangentes diretas (externas) e uma tangente interna no ponto de contato. Essas três retas formam um triângulo. Precisamos calcular a área desse triângulo em função de r_1 e r_2. Para isso, vamos:
1. Colocar as circunferências em coordenadas convenientes.
2. Determinar a equação das três tangentes.
3. Encontrar os vértices do triângulo e, finalmente, seu área.

Passo 2

Posicionamento e equação da tangente interna:
Colocamos o centro da circunferência de raio r_1 em (0,0) e o da de raio r_2 em (r_1+r_2,0). Como elas se tocam em \bigl(r_1,0\bigr), a tangente comum nesse ponto é perpendicular ao eixo x, ou seja,
\text{tangente interna: }x = r_1.

Passo 3

Equação das tangentes diretas e valor de sua inclinação:
Uma reta genérica y = m x + k é tangente à circunferência de centro (0,0) e raio r_1 se
\frac{|k|}{\sqrt{1+m^2}} = r_1 \quad\Longrightarrow\quad k = \pm r_1\sqrt{1+m^2}.
Para ser também tangente à circunferência de centro (r_1+r_2,0) e raio r_2, deve satisfazer
\frac{\bigl|m(r_1+r_2)+k\bigr|}{\sqrt{1+m^2}} = r_2.
Escolhendo o caso “superior” (sinais positivos) e eliminando o valor absoluto, obtemos
m(r_1+r_2) + r_1\sqrt{1+m^2} = r_2\sqrt{1+m^2}.
Ao isolar e elevar ao quadrado chega-se a
m^2 = \frac{(r_2 - r_1)^2}{4\,r_1\,r_2},
então, como r_2>r_1,
m = \frac{r_2 - r_1}{2\sqrt{r_1\,r_2}}.

Passo 4

Equações explícitas das duas tangentes diretas:
Para os dois ramos “diretos” (superior e inferior) usamos inclinações +m e -m com mesmo valor de |k|=r_1\sqrt{1+m^2}. Focamos no ramo superior, que define o mesmo intercepto k em ambas as retas:
\ell_1:\;y = m\,x + r_1\sqrt{1+m^2}, \qquad \ell_2:\;y = -m\,x + r_1\sqrt{1+m^2}.

Passo 5

Cálculo dos vértices do triângulo:
1) Intersecção de \ell_1 e \ell_2:
m\,x + r_1\sqrt{1+m^2} = -m\,x + r_1\sqrt{1+m^2} \;\Longrightarrow\;x=0,\;y=r_1\sqrt{1+m^2}.
Denotamos V=(0,\;r_1\sqrt{1+m^2}).
2) Intersecções de x=r_1 com \ell_1 e \ell_2:
P = \Bigl(r_1,\;m\,r_1 + r_1\sqrt{1+m^2}\Bigr), \quad Q = \Bigl(r_1,\;-m\,r_1 + r_1\sqrt{1+m^2}\Bigr).
O segmento PQ é vertical de comprimento
|y_P - y_Q| = \bigl(m\,r_1 + r_1\sqrt{1+m^2}\bigr) - \bigl(-m\,r_1 + r_1\sqrt{1+m^2}\bigr) = 2\,m\,r_1.
A distância horizontal de V à reta x=r_1 é r_1.

Passo 6

Cálculo da área do triângulo:
Tomamos PQ como base e a distância de V até x=r_1 como altura. Assim,
\text{base} = 2\,m\,r_1, \quad \text{altura} = r_1,
\text{área} = \frac{\text{base}\times\text{altura}}{2} = \frac{2\,m\,r_1 \cdot r_1}{2} = m\,r_1^2.á
Substituindo m = \dfrac{r_2 - r_1}{2\sqrt{r_1\,r_2}}, vem
\text{área} = \frac{r_2 - r_1}{2\sqrt{r_1\,r_2}}\,r_1^2 = \frac{r_1^2\,(r_2 - r_1)}{2\sqrt{r_1\,r_2}} = \frac{r_1^{3/2}\,(r_2 - r_1)}{2\sqrt{r_2}}.á

Resposta

\boxed{ \text{Se }r_2>r_1,\quad \Delta = \frac{r_1^2\,\bigl(r_2 - r_1\bigr)}{2\sqrt{r_1\,r_2}} \quad\bigl(=\tfrac{r_1^{3/2}(r_2-r_1)}{2\sqrt{r_2}}\bigr). }

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