(México-88) Considere duas circunferências tangentes exteriormente e de raios distintos. Suas tangentes comuns formam um triângulo. Calcule a área deste triângulo em função dos raios das circunferências.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas circunferências externamente tangentes de raios r_1 e r_2 (com r_2 > r_1). Elas admitem exatamente três tangentes comuns: duas tangentes diretas (externas) e uma tangente interna no ponto de contato. Essas três retas formam um triângulo. Precisamos calcular a área desse triângulo em função de r_1 e r_2. Para isso, vamos: 1. Colocar as circunferências em coordenadas convenientes. 2. Determinar a equação das três tangentes. 3. Encontrar os vértices do triângulo e, finalmente, seu área.
Passo 2
Posicionamento e equação da tangente interna:
Colocamos o centro da circunferência de raio r_1 em (0,0) e o da de raio r_2 em (r_1+r_2,0). Como elas se tocam em \bigl(r_1,0\bigr), a tangente comum nesse ponto é perpendicular ao eixo x, ou seja,
\text{tangente interna: }x = r_1.
Passo 3
Equação das tangentes diretas e valor de sua inclinação:
Uma reta genérica y = m x + k é tangente à circunferência de centro (0,0) e raio r_1 se
\frac{|k|}{\sqrt{1+m^2}} = r_1 \quad\Longrightarrow\quad k = \pm r_1\sqrt{1+m^2}.
Para ser também tangente à circunferência de centro (r_1+r_2,0) e raio r_2, deve satisfazer
Escolhendo o caso “superior” (sinais positivos) e eliminando o valor absoluto, obtemos
m(r_1+r_2) + r_1\sqrt{1+m^2} = r_2\sqrt{1+m^2}.
Ao isolar e elevar ao quadrado chega-se a
m^2 = \frac{(r_2 - r_1)^2}{4\,r_1\,r_2},
então, como r_2>r_1,
m = \frac{r_2 - r_1}{2\sqrt{r_1\,r_2}}.
Passo 4
Equações explícitas das duas tangentes diretas:
Para os dois ramos “diretos” (superior e inferior) usamos inclinações +m e -m com mesmo valor de |k|=r_1\sqrt{1+m^2}. Focamos no ramo superior, que define o mesmo intercepto k em ambas as retas: