(Colégio Naval-84) As retas \overline{\mathrm{PA}} e \overline{\mathrm{PB}} são tangentes a circunferência de raio R nos pontos A e B respectivamente. Se \overline{\mathrm{PA}}=3 \mathrm{x} e x é a distância do ponto A à reta \overline{\mathrm{PB}}, então R é igual a :
a) 3(3-2 \sqrt{2}) x
b) 3(3+2 \sqrt{2}) x
c) 3 x
d) 2(2+3 \sqrt{3}) x
Passo 1
O enunciado dá duas tangentes PA e PB a uma circunferência de raio R, com PA = 3x e a distância de A à reta PB igual a x.
Para resolver, vamos usar:
No triângulo isósceles PAB (com PA=PB), a distância de A até a reta PB vale PA\sin\varphi, onde \varphi = \angle APB.
A relação entre o ângulo formado pelas tangentes e o ângulo central AOB:\varphi + \angle AOB = \pi.
O comprimento do cordão AB expresso no triângulo PAB e também pela fórmula de cordão em função de R.
Passo 2
Seja \varphi = \angle APB. A distância de A até a reta PB é
x = PA\sin\varphi = 3x\,\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \sin\varphi = \frac{1}{3}.
Passo 3
No triângulo PAB, o cordão AB é
AB = 2\,PA\sin\frac{\varphi}{2} = 6x\sin\frac{\varphi}{2}.
Na circunferência, como \angle AOB = \pi - \varphi, vale
AB = 2R\sin\frac{\pi-\varphi}{2} = 2R\cos\frac{\varphi}{2}.
Igualando as duas expressões para AB,
6x\sin\frac{\varphi}{2} = 2R\cos\frac{\varphi}{2} \quad\Longrightarrow\quad R = 3x\tan\frac{\varphi}{2}.
Passo 4
Como \sin\varphi = \tfrac{1}{3}, temos \cos\varphi = \tfrac{2\sqrt{2}}{3} e