(Colégio Naval-84) As retas \overline{\mathrm{PA}} e \overline{\mathrm{PB}} são tangentes a circunferência de raio R nos pontos A e B respectivamente. Se \overline{\mathrm{PA}}=3 \mathrm{x} e x é a distância do ponto A à reta \overline{\mathrm{PB}}, então R é igual a :
a) 3(3-2 \sqrt{2}) x
b) 3(3+2 \sqrt{2}) x
c) 3 x
d) 2(2+3 \sqrt{3}) x

Passo 1

O enunciado dá duas tangentes PA e PB a uma circunferência de raio R, com PA = 3x e a distância de A à reta PB igual a x.
Para resolver, vamos usar:
  • No triângulo isósceles PAB (com PA=PB), a distância de A até a reta PB vale PA\sin\varphi, onde \varphi = \angle APB.
  • A relação entre o ângulo formado pelas tangentes e o ângulo central AOB: \varphi + \angle AOB = \pi.
  • O comprimento do cordão AB expresso no triângulo PAB e também pela fórmula de cordão em função de R.

Passo 2

Seja \varphi = \angle APB. A distância de A até a reta PB é
x = PA\sin\varphi = 3x\,\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \sin\varphi = \frac{1}{3}.

Passo 3

No triângulo PAB, o cordão AB é
AB = 2\,PA\sin\frac{\varphi}{2} = 6x\sin\frac{\varphi}{2}.
Na circunferência, como \angle AOB = \pi - \varphi, vale
AB = 2R\sin\frac{\pi-\varphi}{2} = 2R\cos\frac{\varphi}{2}.
Igualando as duas expressões para AB,
6x\sin\frac{\varphi}{2} = 2R\cos\frac{\varphi}{2} \quad\Longrightarrow\quad R = 3x\tan\frac{\varphi}{2}.

Passo 4

Como \sin\varphi = \tfrac{1}{3}, temos \cos\varphi = \tfrac{2\sqrt{2}}{3} e
\tan\frac{\varphi}{2} = \frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1 + \tfrac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}.
Logo
R = 3x\,(3 - 2\sqrt{2}).

Resposta

a) 3(3 - 2\sqrt{2})\,x

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