(México) Dos seguintes 34 números: 1,4,7,10,13, \ldots, 97,100, elegem-se 19 deles. Demonstre que entre estes 19 sempre existem 2 cuja soma é 104.

Passo 1

O enunciado nos dá os 34 números da progressão aritmética
\{1,4,7,10,13,\dots,97,100\},
e afirma que de qualquer escolha de 19 desses números sempre há dois cuja soma é 104. O que vamos usar aqui é o princípio da casa dos pombos (pigeonhole): se organizarmos esses números em “caixas” de modo que em cada caixa há exatamente dois que somam 104 (ou um isolado que não se emparelha), veremos que quem pegar 19 números forçadamente terá que pegar os dois de alguma caixa, garantindo a soma 104.

Passo 2

Vamos encontrar todos os pares \{x,104-x\} contidos no conjunto. Se x varia por 4,7,10,\dots,49, então 104-x varia por 100,97,94,\dots,55, e todos esses valores estão na progressão. Assim formamos exatamente 16 pares:
\{4,100\},\{7,97\},\{10,94\},\dots,\{49,55\}.
Ficam de fora desses pares os números 1 e 52, pois 104-1=103\notin conjunto e 104-52=52 (auto-par), mas só há uma cópia de 52.

Passo 3

Se quiséssemos evitar por completo escolher dois números que somem 104, de cada um dos 16 pares teríamos que escolher no máximo um elemento. Além disso, poderíamos escolher também os isolados 1 e 52, totalizando no máximo
16\;\text{(um de cada par)}\;+\;2\;\text{(os isolados)}\;=\;18
números sem formar nenhum par que some 104.

Passo 4

Mas o problema exige escolher 19 números. Como 19 é maior que 18, pelo princípio da casa dos pombos ficará impossível evitar pegar os dois elementos de pelo menos um dos 16 pares. Logo, entre os 19 números escolhidos haverá obrigatoriamente um par \{x,104-x\}.

Resposta

Entre quaisquer 19 dos números dados existem sempre dois cuja soma é 104.

Exercícios de Livros Relacionados