(Unicap-PE) Nas proposições referentes a esta questão, x é um número real. Responda verdadeiro ou falso para cada proposição.
I. Se 3^x <= 243, então x <= 5.
II. Se 0,3^x <= 0,3^2, então x <= 2.
III. A função exponencial 2^x é sempre crescente.
IV. Se a <= b, então a^x <= b^x.
V. Se 2^3 x-1=32^2 x, então x=-17.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada uma das cinco afirmações sobre a função exponencial é verdadeira ou falsa, sabendo que x é real. Vamos usar as propriedades de monotonicidade de a^x (para a>1 é crescente, para 0<a<1 é decrescente) e resolução de equações exponenciais.

Passo 2

I. Temos 3^x<= 243. Como 243=3^5 e a função 3^x é estritamente crescente (base >1), segue
3^x<=3^5Long<=ftrightarrow x<=5
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

II. Aqui a base é 0,3in(0,1), então 0,3^x é estritamente decrescente. Logo
0,3^x<=0,3^2Long<=ftrightarrow x>=2,
e não x<=2. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

III. Para a base 2>1, a função 2^x é sempre estritamente crescente em R. Logo, esta afirmação é verdadeira.

Passo 5

IV. A afirmação “se a<= b então a^x<= b^x” não vale para todo x. Por exemplo, tomemos a=2, b=3 e x=-1:
2^-1=tfrac12 > tfrac13=3^-1,
invertendo a desigualdade. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 6

V. Resolver
2^3x-1=32^2x
Como 32=2^5, temos
2^3x-1=(2^5)^2x=2^10x Longrightarrow 3x-1=10x Longrightarrow -1=7x Longrightarrow x=-17
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

I. Verdadeiro
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Falso
V. Verdadeiro

Exercícios de Livros Relacionados