(Unicap-PE) Nas proposições referentes a esta questão, x é um número real. Responda verdadeiro ou falso para cada proposição.
I. Se
, então
.
II. Se
, então
.
III. A função exponencial
é sempre crescente.
IV. Se
, então
.
V. Se
, então
.
I. Se
II. Se
III. A função exponencial
IV. Se
V. Se
Passo 1
O enunciado pede para determinar se cada uma das cinco afirmações sobre a função exponencial é verdadeira ou falsa, sabendo que
é real. Vamos usar as propriedades de monotonicidade de
(para
é crescente, para
é decrescente) e resolução de equações exponenciais.
Passo 2
I. Temos
. Como
e a função
é estritamente crescente (base
), segue
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
II. Aqui a base é
, então
é estritamente decrescente. Logo
e não
. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
III. Para a base
, a função
é sempre estritamente crescente em
. Logo, esta afirmação é verdadeira.
Passo 5
IV. A afirmação “se
então
” não vale para todo
. Por exemplo, tomemos
,
e
:
invertendo a desigualdade. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 6
V. Resolver
Como
, temos
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
I. Verdadeiro
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Falso
V. Verdadeiro
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Falso
V. Verdadeiro