(U.F. Lavras-MG) Sendo log o logaritmo decimal e a e b números reais positivos, estão corretas as alternativas, exceto:
a) log (10^a)+log (10^b)=a+b
b) log (a+b)+log (a-b)=2 log (a) sendo a>b
c) log (a^2 b^2)-2 log (a cdot b)+log (110)=-1
d) 10^b log a=a^b
e) log (raiza cdot b)=12(log (a)+log (b))

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais identidades envolvendo o logaritmo decimal são verdadeiras e quais são falsas, sabendo que a e b são positivos. Vamos usar as propriedades básicas:
  1. log(10^x)=x.
  2. log(x)+log(y)=log(xy).
  3. log(x^k)=k,log(x).
  4. 10^log(x)=x.

Passo 2

Verificando a alternativa (a):
logl(10^ar)+logl(10^br) =;a + b
pois log(10^a)=a e log(10^b)=b. Logo (a) é verdadeira.

Passo 3

Verificando a alternativa (b):
log(a+b)+log(a-b) =logl((a+b)(a-b)r) =logl(a^2-b^2r)
por outro lado
2log(a)=logl(a^2r)
Para que log(a^2-b^2)=log(a^2) precisaríamos de a^2-b^2=a^2, ou seja b=0, o que contradiz b>0. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Verificando a alternativa (c):
logl(a^2b^2r)-2log(acdot b)+logl(tfrac110r) =2log(ab)-2log(ab)+log(10^-1) =-1
Está correta.

Passo 5

Verificando a alternativa (d):
10^,blog(a) =l(10^log(a)r)^b =a^b
Está correta.

Passo 6

Verificando a alternativa (e):
logl(raiza,br) =logl((ab)^1/2r) =tfrac12,log(ab) =tfrac12l(log(a)+log(b)r)
Está correta.

Resposta

A única alternativa falsa é a (b).

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