Mostrar que o inteiro n=2^10(2^11-1) não é um número perfeito.

Passo 1

Resumindo o enunciado: dado o inteiro
n = 2^10l(2^11-1r),
queremos mostrar que ele não é perfeito. Lembrando que um número inteiro positivo é perfeito se a soma dos seus divisores próprios (excluindo ele próprio) for igual a ele próprio, ou equivalentemente se
sigma(n)=2n,
onde sigma(n) é a soma de todos os divisores de n. Vamos usar a propriedade multiplicativa de sigma e fatorar 2^11-1.

Passo 2

Calcular 2^11-1. Temos:
2^11-1 = 2048 - 1 = 2047
Além disso, 2047 é composto, pois
2047 = 23 times 89

Passo 3

Calcular sigma(2^10). Para uma potência de 2 vale
sigma(2^10) = 1 + 2 + 2^2 + cdots + 2^10 = 2^11-12-1 = 2^11-1 = 2047

Passo 4

Calcular sigma(2047). Como 2047 = 23 times 89 e 23,89 são primos distintos,
sigma(2047) = (1 + 23),(1 + 89) = 24 times 90 = 2160

Passo 5

Pela multiplicatividade de sigma em inteiros coprimos,
sigma(n) = sigma(2^10) ,sigma(2047) = 2047 times 2160

Passo 6

Comparar sigma(n) com 2n. Temos
2n = 2cdot2^10l(2^11-1r) = 2^11times2047 = 2048times2047
Como
2047times2160 neq 2047times2048(pois 2160neq2048),
segue que
sigma(n)neq 2n,
logo n não é um número perfeito.

Resposta

n não é um número perfeito.

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