Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binômios:
binomn1+2binomn2+3binomn3+ldots+nbinomnn=n 2^n-1.

Passo 1

Resumindo, queremos provar que
sumk=1^nkbinomnk=n,2^n-1
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Binomial e a técnica de diferenciar séries de potências.

Passo 2

Começamos com a expansão binomial clássica:
(1+x)^n=sumk=0^nbinomnkx^k

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddx(1+x)^n =n(1+x)^n-1 e ddxsumk=0^nbinomnkx^k =sumk=0^nbinomnkk,x^k-1
Logo,
n(1+x)^n-1 =sumk=0^nkbinomnkx^k-1

Passo 4

Multiplicamos os dois lados por x para alinhar as potências:
n,x,(1+x)^n-1 =sumk=0^nkbinomnkx^k

Passo 5

Basta agora escolher x=1. No lado esquerdo vem
ncdot1cdot2^,n-1=n,2^,n-1,
e no direito
sumk=0^nkbinomnk,1^k =sumk=0^nkbinomnk

Resposta

Como o termo k=0 vale 0, concluímos
sumk=1^nkbinomnk =n,2^,n-1

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