Empregando o critúrio de convergência de Cauchy, mostrar que as seqü̂́ucias abaixo convergem:
an=n+1n.

Passo 1

Resumindo: temos a sequência an = n+1n = 1 + 1n e queremos mostrar que ela converge usando o critério de Cauchy, que diz: para todo epsilon>0 existe N tal que, para todo m,n>= N, vale |am - an|<epsilon.

Passo 2

Calculamos a diferença entre dois termos arbitrários:
|am - an| = l|m+1m - n+1nr| = l|1m - 1nr| <= 1m + 1n

Passo 3

Se m,n>= N então 1/m<=1/N e 1/n<=1/N, logo
|am - an| <= 2N
Dado epsilon>0, basta escolher N tal que 2N<epsilon, por exemplo N>tfrac2epsilon. Assim, para todo m,n>= N temos |am - an|<epsilon.

Passo 4

Concluímos que (an) é sequência de Cauchy e, como R é completo, (an) converge.

Resposta

A sequência l(anr)ninN converge. Seu limite é
limntoinftyan = 1

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