Empregando o critúrio de convergência de Cauchy, mostrar que as seqü̂́ucias abaixo convergem:
.
Passo 1
Resumindo: temos a sequência
e queremos mostrar que ela converge usando o critério de Cauchy, que diz: para todo
existe
tal que, para todo
, vale
.
Passo 2
Calculamos a diferença entre dois termos arbitrários:
Passo 3
Se
m,n>= N então
1/m<=1/N e
1/n<=1/N , logo
Dado
epsilon>0 , basta escolher
N tal que
2N<epsilon , por exemplo
N>tfrac2epsilon . Assim, para todo
m,n>= N temos
|am - an|<epsilon .
Passo 4
Concluímos que
(an) é sequência de Cauchy e, como
R é completo,
(an) converge.
Resposta
A sequência
l(anr)ninN converge. Seu limite é