Estudar o comportamento da função
Passo 1
O enunciado pede para “estudar o comportamento” da função
Vamos analisar domínio, continuidade em
0 , derivabilidade em
0 e para
xneq0 , e ainda o comportamento assintótico quando
xtoinfty .
Passo 2
O domínio natural de
f é todo o conjunto dos reais,
R , pois a expressão para
xneq0 só exige
xneq0 (e em
x=0 o valor está definido como
f(0)=0 ).
Passo 3
Para verificar a continuidade em
0 , calculamos
Como
l|sintfrac1xr|<=1 , temos
que ambos tendem a
0 quando
xto0 . Logo
e
f é contínua em
0 .
Passo 4
Para
xneq0 , aplicamos a regra do produto em cada termo:
Somando, para
xneq0 ,
Portanto
f é diferenciável em todo
xneq0 .
Passo 5
Para testar a derivabilidade em
0 , consideramos o quociente
Quando
xto0 , o primeiro termo
sintfrac1x oscila entre
-1 e
1 , sem limite. Logo
não existe, e
f não é diferenciável em
0 .
Passo 6
Para estudar
xtoinfty , expandimos
sintfrac1x em série:
Substituindo em
f :
Assim
com comportamento assintótico
f(x)sim x+1 .
Passo 7
Analisando
f'(x) para
x grande, temos
sintfrac1xapproxtfrac1x e
costfrac1xapprox1 , daí
Logo para
x suficientemente grande
f'(x)>0 e
f torna-se estritamente crescente.
Resposta
A função
fcolonRtoR está definida e contínua em todo ponto, mas não é diferenciável em
0 . Para
xneq0 ,
Quando
xto0 ,
f(x)to0 e a derivada não existe; quando
xtoinfty ,
f(x)sim x+1to+infty e
f é crescente para
x grandes.