Estudar o comportamento da função
f(x)=x sen 1x+x^2 sen 1x, x neq 0 ; f(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para “estudar o comportamento” da função
f(x)= xsin!l(tfrac1xr)+x^2sin!l(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0
Vamos analisar domínio, continuidade em 0, derivabilidade em 0 e para xneq0, e ainda o comportamento assintótico quando xtoinfty.

Passo 2

O domínio natural de f é todo o conjunto dos reais, R, pois a expressão para xneq0 só exige xneq0 (e em x=0 o valor está definido como f(0)=0).

Passo 3

Para verificar a continuidade em 0, calculamos
limxto0f(x) =limxto0l(xsintfrac1x + x^2sintfrac1xr)
Como l|sintfrac1xr|<=1, temos
l|xsintfrac1xr|<=|x|, l|x^2sintfrac1xr|<= x^2,
que ambos tendem a 0 quando xto0. Logo
limxto0f(x)=0=f(0),
e f é contínua em 0.

Passo 4

Para xneq0, aplicamos a regra do produto em cada termo:
ddxl[xsintfrac1xr] =sintfrac1x + xcostfrac1xcdotl(-tfrac1x^2r) =sintfrac1x - tfrac1xcostfrac1x,
ddxl[x^2sintfrac1xr] =2xsintfrac1x + x^2costfrac1xcdotl(-tfrac1x^2r) =2xsintfrac1x - costfrac1x
Somando, para xneq0,
f'(x) =(1+2x)sintfrac1x ;-;(1+tfrac1x)costfrac1x
Portanto f é diferenciável em todo xneq0.

Passo 5

Para testar a derivabilidade em 0, consideramos o quociente
f(x)-f(0)x =f(x)x =sintfrac1x + xsintfrac1x
Quando xto0, o primeiro termo sintfrac1x oscila entre -1 e 1, sem limite. Logo
limxto0f(x)-f(0)x
não existe, e f não é diferenciável em 0.

Passo 6

Para estudar xtoinfty, expandimos sintfrac1x em série:
sintfrac1x=tfrac1x+O(x^-3)
Substituindo em f:
f(x) =xl(tfrac1x+O(x^-3)r) +x^2l(tfrac1x+O(x^-3)r) =1+O(x^-2)+x+O(x^-1) =x+1+o(1)
Assim
limxtoinftyf(x)=+infty,
com comportamento assintótico f(x)sim x+1.

Passo 7

Analisando f'(x) para x grande, temos sintfrac1xapproxtfrac1x e costfrac1xapprox1, daí
f'(x)approx(1+2x)tfrac1x -l(1+tfrac1xr) =2+tfrac1x -1-tfrac1x=1
Logo para x suficientemente grande f'(x)>0 e f torna-se estritamente crescente.

Resposta

A função fcolonRtoR está definida e contínua em todo ponto, mas não é diferenciável em 0. Para xneq0,
f'(x)=(1+2x)sintfrac1x - (1+tfrac1x)costfrac1x
Quando xto0, f(x)to0 e a derivada não existe; quando xtoinfty, f(x)sim x+1to+infty e f é crescente para x grandes.

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