Mostrar que entre todos os rectângulos inscritos num dado círculo, o quadrado tem uma superfície máxima. Mostrar também que o perímetro é máximo para o quadrado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, entre todos os retângulos inscritos num círculo de raio r fixo, aquele que maximiza a área e também aquele que maximiza o perímetro é o quadrado. O conteúdo é otimização com restrição, usando desigualdade AM–GM para a área e AM–QM (ou Cauchy–Schwarz) para o perímetro.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados de um retângulo inscrito num círculo de raio r. A diagonal do retângulo é igual ao diâmetro do círculo, logo
x^2+y^2 = (2r)^2 = 4r^2
A área do retângulo é
A = x,y,
e o perímetro é
P = 2,(x+y)

Passo 3

Para maximizar a área A = x,y sob a restrição x^2+y^2=4r^2, aplicamos AM–GM às quantidades x^2 e y^2:
x^2 + y^22 ;>=;raizx^2,y^2 = xy
Como x^2+y^2=4r^2, temos
xy ;<=;4r^22 = 2r^2,
com igualdade se, e somente se, x^2 = y^2, ou seja x=y. Portanto a área atinge seu valor máximo Amax=2r^2 quando o retângulo é um quadrado.

Passo 4

Para maximizar o perímetro P = 2,(x+y) sob a mesma restrição, aplicamos a desigualdade AM–QM a x e y:
x+y2 ;<=;raizx^2+y^22 = raiz4r^22 = rraiz2
Assim
x+y ;<=;2rraiz2,
e
P = 2,(x+y) ;<=;4rraiz2,
com igualdade se, e somente se, x=y. Logo o perímetro também é máximo quando o retângulo é um quadrado.

Resposta

O retângulo inscrito que tem área e perímetro máximos é o quadrado.

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