Mostrar que entre todos os rectângulos inscritos num dado círculo, o quadrado tem uma superfície máxima. Mostrar também que o perímetro é máximo para o quadrado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, entre todos os retângulos inscritos num círculo de raio
fixo, aquele que maximiza a área e também aquele que maximiza o perímetro é o quadrado. O conteúdo é otimização com restrição, usando desigualdade AM–GM para a área e AM–QM (ou Cauchy–Schwarz) para o perímetro.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados de um retângulo inscrito num círculo de raio
. A diagonal do retângulo é igual ao diâmetro do círculo, logo
A área do retângulo é
e o perímetro é
Passo 3
Para maximizar a área
sob a restrição
, aplicamos AM–GM às quantidades
e
:
Como
, temos
com igualdade se, e somente se,
, ou seja
. Portanto a área atinge seu valor máximo
quando o retângulo é um quadrado.
Passo 4
Para maximizar o perímetro
sob a mesma restrição, aplicamos a desigualdade AM–QM a
e
:
Assim
e
com igualdade se, e somente se,
. Logo o perímetro também é máximo quando o retângulo é um quadrado.
Resposta
O retângulo inscrito que tem área e perímetro máximos é o quadrado.