Achar os extremos das funções:
y=x^2-3 x+2x^2+3 x+2. Resp. mín. para x=raiz2, máx. para x=-raiz2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos locais da função racional
y = x^2 - 3x + 2x^2 + 3x + 2
O conteúdo aqui é cálculo de derivada de quociente e teste de sinais para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio: o denominador não pode ser zero.
x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)neq 0
implica
x neq -1,; x neq -2

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente: se u(x)=x^2-3x+2 e v(x)=x^2+3x+2, então
y' = u'v - u,v'v^2 = (2x-3)(x^2+3x+2) - (x^2-3x+2)(2x+3)(x^2+3x+2)^2
Ao expandir e simplificar, encontra-se
y' = 6(x^2-2)(x^2+3x+2)^2

Passo 4

Para achar os pontos críticos, igualamos y'=0:
6(x^2-2)=0 Longrightarrow x^2=2 Longrightarrow x = pmraiz2
Ambos pertencem ao domínio porque não coincidem com -1 nem com -2.

Passo 5

Analisamos o sinal de y': o denominador é sempre positivo (quadrado), e o numerador é positivo se lvert xrvert>raiz2 e negativo se lvert xrvert<raiz2.
Em x=-raiz2 temos variação de y'>0 para y'<0, caracterizando um máximo local.
Em x=+raiz2 temos variação de y'<0 para y'>0, caracterizando um mínimo local.

Resposta

Máximo local em x = -raiz2.
Mínimo local em x = +raiz2.

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