Achar os extremos das funções:
y=x^4-2 x^2+2. Resp. máx. para x=0; min. para x=-1 e para x=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo da função
y = f(x) = x^4 - 2x^2 + 2
O conteúdo utilizado será o teste de derivadas: primeiro achamos a derivada primeira para localizar os pontos críticos e depois usamos a derivada segunda para classificar cada ponto como máximo ou mínimo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f.
f'(x) = ddxl(x^4 - 2x^2 + 2r) = 4x^3 - 4x

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
f'(x) = 0 Longrightarrow 4x^3 - 4x = 4x(x^2-1) = 0
Logo, os pontos críticos são
x = 0, x = 1, x = -1

Passo 4

Usamos a derivada segunda para classificar cada ponto:
f''(x) = ddxl(4x^3 - 4xr) = 12x^2 - 4
– Em x = 0:
f''(0) = 12cdot0^2 - 4 = -4 < 0,
logo é ponto de máximo local. O valor é
f(0) = 0^4 - 2cdot0^2 + 2 = 2
– Em x = pm1:
f''(pm1) = 12cdot1^2 - 4 = 8 > 0,
logo são pontos de mínimo locais. Os valores são
f(1) = 1^4 - 2cdot1^2 + 2 = 1,
f(-1) = (-1)^4 - 2cdot(-1)^2 + 2 = 1

Resposta

Máximo em x=0 com f(0)=2.
Mínimos em x=-1 e x=1, ambos com f=-1)=1.

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